Binaire en décimal : comment lire le binaire, pas à pas
Pour convertir du binaire en décimal, on écrit au-dessus des chiffres, de droite à gauche, les puissances de deux (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) et on additionne celles qui se trouvent au-dessus d’un 1. Ainsi, 1101 vaut 8 + 4 + 1 = 13, et l’octet 01000001 vaut 64 + 1 = 65, le code de la lettre A majuscule.
Le binaire ressemble à une suite sans fin de 0 et de 1, mais c’est un système de numération positionnel ordinaire, avec seulement deux chiffres. Ce guide montre comment lire un octet, comment passer du binaire au décimal et inversement sur des exemples détaillés, pourquoi l’hexadécimal n’est que du binaire regroupé par quatre, et comment une lettre devient huit bits. Chaque exemple se vérifie dans le convertisseur binaire gratuit de VITON13 SCHOOL.
Idées essentielles
- Le binaire est en base 2 : chaque position vaut le double de celle de droite, si bien que les huit positions d’un octet valent 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 et 1.
- Du binaire au décimal : additionner les valeurs des positions qui portent un 1. Du décimal au binaire : diviser par 2 encore et encore, puis lire les restes du dernier au premier.
- Un chiffre hexadécimal représente quatre bits, donc un octet s’écrit avec deux chiffres hexadécimaux, de 00 à FF ; un chiffre octal représente trois bits.
- Le texte devient binaire grâce aux codes de caractères : en ASCII comme en UTF-8, la lettre A vaut 65, soit 01000001.
Comment lit-on un nombre binaire ?
Le système binaire n’a que deux chiffres, 0 et 1, et chaque position vaut deux fois plus que sa voisine de droite, au lieu de dix fois plus comme en décimal. Un chiffre binaire s’appelle un bit. En partant de la droite, les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 et 128, les puissances de deux de 2⁰ à 2⁷.
Pour lire 1011, alignez-le sous les valeurs 8, 4, 2, 1. Il y a des 1 sous 8, 2 et 1 : le nombre vaut donc 8 + 2 + 1 = 11. Un exemple plus long : 10011100 se place sous 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, avec des 1 sous 128, 16, 8 et 4, soit 128 + 16 + 8 + 4 = 156. Les zéros de tête ne changent rien : 00001011 vaut toujours 11.
Huit bits forment un octet, qui peut donc prendre 2⁸ = 256 valeurs différentes, de 00000000 (0) à 11111111 (255, la somme 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1). Quatre bits, un demi-octet, forment un quartet, qui va de 0 à 15. Chaque bit supplémentaire double le nombre de valeurs : n bits en donnent 2ⁿ.
Comment convertir du binaire en décimal, et du décimal en binaire ?
Pour passer du binaire en décimal, il existe deux méthodes. La première est celle vue plus haut : additionner les valeurs des positions qui portent un 1. La seconde se lit de gauche à droite, sans tableau : on part de 0 et, à chaque bit, on double le total puis on ajoute le bit. Pour 1101, cela donne 0 × 2 + 1 = 1, puis 1 × 2 + 1 = 3, puis 3 × 2 + 0 = 6, puis 6 × 2 + 1 = 13.
Du décimal au binaire, on procède par divisions successives par 2. On divise le nombre par 2 et on note le reste, 0 ou 1 ; on divise de nouveau le quotient par 2, et on s’arrête quand le quotient vaut 0. Les restes lus du dernier au premier forment le nombre binaire. Pour 13 : 13 ÷ 2 = 6, reste 1 ; 6 ÷ 2 = 3, reste 0 ; 3 ÷ 2 = 1, reste 1 ; 1 ÷ 2 = 0, reste 1 ; donc 13 s’écrit 1101.
Un exemple plus grand, 156 : 156 ÷ 2 = 78, reste 0 ; 78 ÷ 2 = 39, reste 0 ; 39 ÷ 2 = 19, reste 1 ; 19 ÷ 2 = 9, reste 1 ; 9 ÷ 2 = 4, reste 1 ; 4 ÷ 2 = 2, reste 0 ; 2 ÷ 2 = 1, reste 0 ; 1 ÷ 2 = 0, reste 1. Lus de bas en haut, les restes donnent 10011100, le même octet que dans la première partie. Le premier reste est toujours le bit le plus à droite, celui qui vaut 1.
Que sont l’hexadécimal et l’octal, et comment le texte devient-il binaire ?
L’hexadécimal est la base 16 : il utilise les chiffres de 0 à 9 puis les lettres A, B, C, D, E et F pour les valeurs de 10 à 15. Comme 16 vaut 2⁴, un chiffre hexadécimal représente exactement quatre bits, et l’on passe du binaire à l’hexadécimal en découpant le nombre en groupes de quatre depuis la droite : 1001 1100 donne 9 et C, donc 156 s’écrit 9C en hexadécimal, souvent noté 0x9C. Un octet s’écrit toujours avec deux chiffres hexadécimaux, de 00 à FF, et FF vaut 255. L’octal, en base 8, fait de même avec des groupes de trois, puisque 8 vaut 2³ : 010 011 100 donne 2, 3, 4, donc 156 s’écrit 234 en octal.
Le texte devient une suite de bits grâce à une table de codes de caractères. En ASCII, et en UTF-8, qui conserve les 128 premiers codes ASCII sur un seul octet, le A majuscule vaut 65, le B 66, le a minuscule 97 et l’espace 32. Le A est donc stocké sous la forme 01000001, le a sous la forme 01100001, et le mot Hi en deux octets, 01001000 01101001, soit 72 et 105.
Les caractères hors de ce premier ensemble occupent davantage d’octets en UTF-8, de un à quatre au total. La plupart des lettres latines accentuées, comme le é, ainsi que les alphabets grec, cyrillique, hébreu et arabe prennent deux octets : le é s’écrit 11000011 10101001 (C3 A9 en hexadécimal). La plupart des caractères chinois, japonais et coréens en prennent trois, et les émojis quatre.
Comment vérifier une conversion binaire en décimal en ligne ?
Le convertisseur binaire gratuit de VITON13 SCHOOL passe d’une base à l’autre entre binaire, décimal, hexadécimal et octal, en affichant les étapes. Saisissez un nombre dans l’une des quatre bases : il apparaît dans les trois autres avec le détail du calcul, que vous pouvez comparer ligne à ligne avec votre propre calcul sur papier.
Passez ensuite au mode texte, qui transforme des mots en binaire via UTF-8 et du binaire en texte : essayez A, puis Hi, puis un mot accentué, et regardez combien d’octets prend chaque caractère. Pour les nombres négatifs, le convertisseur affiche aussi le complément à deux, la manière habituelle dont les ordinateurs stockent les entiers négatifs.
En mots simples
Un nombre binaire ressemble à une rangée d’interrupteurs dont chacun vaut le double de son voisin de droite. Pour lire le nombre, on additionne les interrupteurs allumés ; pour écrire un nombre, on allume les plus grandes valeurs qui tiennent encore.
À vous de jouer
Sans calculatrice, convertissez 01100001 en décimal, puis vérifiez le résultat dans le convertisseur binaire.
Résultat attendu
Les 1 se trouvent sous 64, 32 et 1, donc la réponse est 97 ; le convertisseur affiche la même valeur avec ses étapes, et en mode texte l’octet 01100001 correspond à la lettre a minuscule.
Vérifiez votre réponse: Comment écrit-on 25 en binaire, par divisions successives par 2 ?
11001. 25 ÷ 2 = 12, reste 1 ; 12 ÷ 2 = 6, reste 0 ; 6 ÷ 2 = 3, reste 0 ; 3 ÷ 2 = 1, reste 1 ; 1 ÷ 2 = 0, reste 1. Du dernier reste au premier : 1 1 0 0 1. Vérification : 16 + 8 + 1 = 25.
Questions et réponses
Combien vaut 11111111 en décimal ?
255 : c’est la somme 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, le plus grand nombre qu’un octet puisse contenir, noté FF en hexadécimal. Le nombre suivant, 256, demande déjà neuf bits : 100000000.
Comment convertir de l’hexadécimal en binaire ?
On remplace chaque chiffre hexadécimal par ses quatre bits. 2F devient 0010 1111, soit 00101111, qui vaut 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 en décimal.
Écrivez les valeurs de 128 à 1 au-dessus de n’importe quel octet et additionnez celles qui portent un 1 ; ouvrez ensuite le convertisseur binaire de VITON13 SCHOOL et vérifiez vos réponses, étapes comprises, jusqu’à lire un octet d’un coup d’œil.
Sources et lectures
- Wikipedia: Binary number (place values, conversion by repeated division by 2) ↗Sources consultées:
- Wikipedia: Hexadecimal (base 16, one digit for every four bits) ↗Sources consultées:
- Wikipedia: UTF-8 (one to four bytes per character, ASCII kept as single bytes) ↗Sources consultées: