División de fracciones: la regla, por qué funciona y ejemplos resueltos
Para dividir fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda: se deja la primera igual, se cambia ÷ por × y se da la vuelta a la segunda. Por ejemplo, 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Multiplicar es aún más sencillo: numerador por numerador y denominador por denominador.
La regla para dividir fracciones sorprende al principio, porque manda multiplicar. Esta guía empieza por la multiplicación de fracciones, explica la división paso a paso, muestra por qué multiplicar por la inversa da el resultado correcto y trata los números mixtos y los enteros, siempre con ejemplos resueltos. Al final, una calculadora gratuita comprueba cada resultado y escribe el proceso.
Ideas principales
- Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. No hace falta común denominador.
- Para dividir se deja la primera fracción, se cambia ÷ por × y se invierte la segunda: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
- Funciona porque dividir entre un número equivale a multiplicar por su inverso: 3 ÷ 1/2 = 6, porque en tres enteros caben seis mitades.
- Los números mixtos se pasan a fracciones impropias antes de invertir nada, un entero n se escribe n/1 y nunca se puede dividir entre cero.
¿Cómo se multiplican fracciones?
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y luego se simplifica. A diferencia de la suma, no hace falta buscar un denominador común. Por ejemplo, 2/3 × 3/4 = (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12, y 6/12 se simplifica a 1/2.
Se pueden cancelar factores comunes antes de multiplicar para trabajar con números pequeños. En 2/3 × 3/4 el 3 de arriba y el de abajo se cancelan, y el 2 y el 4 comparten el factor 2, así que queda directamente 1/1 × 1/2 = 1/2. Un número entero se escribe con denominador 1: 3 × 2/5 = 3/1 × 2/5 = 6/5, o sea 1 1/5.
La palabra «de» en un problema significa multiplicar: la mitad de tres cuartos es 1/2 × 3/4 = 3/8. El ejemplo enseña además algo útil: multiplicar por una fracción menor que 1 hace más pequeño el número, porque 3/8 es menos que 3/4.
¿Cómo se dividen fracciones?
Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. La inversa de a/b es b/a, el número que multiplicado por a/b da exactamente 1: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. El cero es el único número sin inverso, ya que nada multiplicado por 0 da 1, y por eso la división entre cero no tiene resultado.
Los pasos son tres. Para 3/4 ÷ 2/5: primero se deja 3/4 tal como está; después se cambia el signo de dividir por el de multiplicar; por último se invierte 2/5, que pasa a ser 5/2. Ahora se multiplica: 3/4 × 5/2 = 15/8, que como número mixto es 1 7/8. Otro ejemplo: 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3.
Solo se invierte el divisor, la segunda fracción. Si se invierte la primera por error, sale 4/3 × 2/5 = 8/15, que es justo la inversa del resultado correcto, 15/8. Para comprobar, se multiplica el resultado por el divisor y debe salir el dividendo: 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4.
¿Por qué funciona multiplicar por la inversa?
Dividir entre un número da lo mismo que multiplicar por su inverso. La división pregunta cuántas veces cabe el divisor en el dividendo, o qué número multiplicado por el divisor devuelve el dividendo, y multiplicar por la inversa responde precisamente a esa pregunta.
Empecemos por algo que se pueda imaginar. ¿Cuántas mitades hay en 3 enteros? Seis, así que 3 ÷ 1/2 = 6, igual que 3 × 2. Con las tazas medidoras pasa lo mismo: en la taza de 1/2 caben dos cacitos de 1/4, por lo que 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2, y 3/4 de taza llenan el cacito de 1/4 tres veces, porque 3/4 × 4/1 = 12/4 = 3.
En general, si a/b ÷ c/d = x, entonces x × c/d = a/b. Al multiplicar los dos lados por d/c, como c/d × d/c = 1, queda x = a/b × d/c. También hay un camino sin invertir: reducir las dos fracciones a común denominador y dividir los numeradores. 3/4 ÷ 2/5 = 15/20 ÷ 8/20 = 15 ÷ 8 = 15/8, el mismo resultado.
¿Cómo se dividen números mixtos y enteros, y cómo comprobarlo?
Los números mixtos se convierten primero en fracciones impropias; la regla de invertir solo funciona con fracciones simples. Para 2 1/2 ÷ 1 1/4: 2 1/2 = 5/2 y 1 1/4 = 5/4, así que 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2. Tiene sentido: uno y cuarto cabe en dos y medio exactamente dos veces.
Un número entero se escribe sobre 1. Fracción entre entero: 10/3 ÷ 5 = 10/3 × 1/5 = 10/15 = 2/3; si el numerador es divisible, también se puede dividir directamente, 10 ÷ 5 = 2, y vuelve a salir 2/3. Entero entre fracción: 4 ÷ 2/3 = 4/1 × 3/2 = 12/2 = 6, es decir, 2/3 cabe seis veces en cuatro enteros.
Para comprobarlo, abre la calculadora de fracciones gratuita de VITON13 SCHOOL y pon ÷ entre dos fracciones, o escribe 2 1/2 ÷ 1 1/4 en el modo «Expresión». Los pasos muestran los mixtos convertidos en fracciones impropias, el divisor invertido, la multiplicación de numeradores y denominadores y la simplificación por el MCD; el resultado aparece como fracción, número mixto, decimal y porcentaje. Si un divisor es cero, la calculadora se detiene y avisa de que la división entre cero no tiene valor. En una expresión, × y ÷ se hacen antes que + y −, y los paréntesis primero.
En palabras sencillas
Dividir entre una fracción es preguntar cuántos trozos de ese tamaño caben. En tres pizzas hay seis mitades, así que 3 ÷ 1/2 = 6; si se invierte 1/2 en 2 y se multiplica, salen los mismos seis.
Pruébalo
Calcula 5/6 ÷ 2/3 en papel invirtiendo el divisor, luego introdúcelo en la calculadora de fracciones y compara los pasos.
Resultado esperado
5/6 × 3/2 = 15/12, que se simplifica a 5/4: el número mixto 1 1/4, el decimal 1,25 y el 125 %.
Comprueba tu respuesta: ¿Cuántos cacitos de 1/4 de taza hacen falta para llenar 1 1/2 tazas?
Seis. 1 1/2 = 3/2, y 3/2 ÷ 1/4 = 3/2 × 4/1 = 12/2 = 6.
Preguntas y respuestas
¿Qué fracción se invierte al dividir?
Solo la segunda, el divisor. La primera se queda como está; si se invierte esa, se obtiene la inversa del resultado correcto.
¿Se pueden dividir fracciones sin invertir?
Sí. Se reducen las dos a común denominador y se dividen los numeradores: 3/4 ÷ 2/5 = 15/20 ÷ 8/20 = 15/8. El resultado coincide con el de la regla habitual.
Para multiplicar, numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir, se deja la primera fracción, se cambia ÷ por × y se invierte la segunda. Convierte antes los mixtos, escribe los enteros sobre 1 y comprueba cada resultado en la calculadora de fracciones gratuita de VITON13 SCHOOL, que muestra todos los pasos.
Fuentes y lecturas
- Wikipedia: Fraction (multiplication and division of fractions) ↗Fuentes revisadas:
- Wikipedia: Multiplicative inverse (reciprocal) ↗Fuentes revisadas:
- Mathwords: Keep Change Flip ↗Fuentes revisadas: