Jerarquía de operaciones: el orden PEMDAS y BODMAS explicado con ejemplos
La jerarquía de operaciones es la convención para resolver una expresión: primero los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y, por último, sumas y restas también de izquierda a derecha. Por eso 3 + 4 × 2 = 11 y no 14. PEMDAS en Estados Unidos y BODMAS en el Reino Unido son dos nombres de la misma regla.
Sin un orden acordado, 3 + 4 × 2 podría valer 14 u 11. La jerarquía de operaciones lo resuelve, y existe para que el álgebra se pueda escribir sin un bosque de paréntesis. Esta guía explica la regla, compara PEMDAS, BODMAS y BIDMAS, aclara por qué multiplicar y dividir comparten escalón, cómo se leen las potencias encadenadas y por qué 8 ÷ 2(2+2) divide a internet, con ejemplos resueltos y una calculadora gratuita para comprobarlos.
Ideas principales
- Paréntesis, después potencias, luego × y ÷ juntas de izquierda a derecha, y al final + y − juntas de izquierda a derecha.
- PEMDAS, BODMAS, BIDMAS y BEDMAS son una sola regla con distintos nombres; que la M vaya antes que la D en PEMDAS no significa que se multiplique primero.
- Las potencias encadenadas se leen de arriba abajo: 2^3^2 = 2^9 = 512; y −3² = −9, porque la potencia va antes que el signo menos.
- 8 ÷ 2(2+2) da 16 si la multiplicación implícita se trata como ×, y 1 si se considera más fuerte; los paréntesis eliminan la duda.
¿Qué es la jerarquía de operaciones?
La jerarquía de operaciones es una convención que indica qué parte de una expresión se calcula antes: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas. Las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha. Gracias a ella, 3 + 4 × 2 tiene un único valor, 11, porque la multiplicación va antes que la suma.
La convención sirve para escribir menos. Un polinomio como 17x⁸ + 2x⁷ + 3x + 4 se entiende como (17(x⁸)) + (2(x⁷)) + (3x) + 4: primero potencias, luego multiplicaciones y luego sumas. Si todo se hiciera de izquierda a derecha sin más, habría que escribir todos esos paréntesis. La norma de multiplicar antes de sumar forma parte de la notación algebraica desde el siglo XVII.
Los paréntesis mandan sobre todo lo demás: (3 + 4) × 2 = 14. Dentro de ellos rige el mismo orden, y los paréntesis anidados se resuelven de dentro hacia fuera: 7 + (6 × 5² + 3) = 7 + (6 × 25 + 3) = 7 + 153 = 160.
PEMDAS, BODMAS y BIDMAS: ¿en qué se diferencian?
Solo en el nombre. PEMDAS, habitual en Estados Unidos, son las iniciales en inglés de paréntesis, exponentes, multiplicación y división, adición y sustracción. BODMAS, usada en el Reino Unido y otros países de la Commonwealth, dice brackets (paréntesis), orders (potencias), división y multiplicación, adición y sustracción. BIDMAS llama indices a las potencias, y BEDMAS es la forma común en Canadá y Nueva Zelanda.
Todas esconden la misma trampa: las letras sugieren una secuencia estricta que no existe. Multiplicar y dividir son un mismo escalón, igual que sumar y restar. PEMDAS pone la M antes que la D y BODMAS la D antes que la M, y significan lo mismo. Si se lee la sigla al pie de la letra, haciendo todas las sumas antes que cualquier resta, 10 − 4 + 3 sale mal: de izquierda a derecha da 9, no 3.
¿Por qué la multiplicación y la división se hacen de izquierda a derecha?
Como tienen el mismo nivel, se resuelven en el orden en que aparecen. 20 − 10 ÷ 5 × 3 es 20 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14; multiplicar primero llevaría al erróneo 20 − 10 ÷ 15. Las cadenas de divisiones son la prueba más clara: 100 ÷ 10 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5, y no 100 ÷ 5 = 20.
Las potencias van al revés. Una torre de exponentes se lee de arriba abajo, así que 2^3^2 significa 2^(3^2) = 2^9 = 512, no (2^3)^2 = 64. Los programas no se ponen de acuerdo: algunas hojas de cálculo leen 2^3^2 de izquierda a derecha y devuelven 64. El signo menos inicial también se aplica después de la potencia: −3² = −(3²) = −9, mientras que (−3)² = 9, aunque algunas hojas de cálculo vuelven a dar 9 para −3².
El famoso 8 ÷ 2(2+2) muestra dónde se acaba la convención. Tras el paréntesis queda 8 ÷ 2(4). Si la multiplicación implícita 2(4) se trata como cualquier otro ×, de izquierda a derecha sale 8 ÷ 2 × 4 = 16. Si un número pegado a un paréntesis se toma como un bloque, algo habitual en textos académicos, queda 8 ÷ 8 = 1; las normas de envío de la revista Physical Review, por ejemplo, dan prioridad a la multiplicación sobre la división.
Ninguna lectura es un disparate: la expresión es ambigua, y las calculadoras tampoco coinciden, pues un modelo escolar muy extendido responde 1 a 6 ÷ 2(1+2) y otro responde 9. El matemático Hung-Hsi Wu califica estos acertijos de artificiales. La solución honrada es escribir lo que se quiere decir: (8 ÷ 2)(2 + 2) = 16 u 8 ÷ (2(2 + 2)) = 1.
¿Cómo aplican las calculadoras la jerarquía de operaciones?
Una calculadora sencilla, que opera a medida que pulsas las teclas, puede saltarse la regla: en ella 1 + 2 × 3 da 9, porque suma antes de multiplicar, mientras que una calculadora científica da 7. Antes de fiarte de un cálculo largo, prueba la calculadora con 1 + 2 × 3.
Ejemplos para resolver a mano y comprobar: 2 + 3 × 4² = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50. (2 + 3) × 4² = 5 × 16 = 80. 18 ÷ 3 × 2 = 6 × 2 = 12. 10 − 4 − 3 = 6 − 3 = 3, y no 10 − 1 = 9.
La calculadora científica gratuita de VITON13 SCHOOL sigue la convención descrita y muestra el resultado mientras escribes, así que puedes ver cómo un paréntesis cambia la respuesta. Primero van los paréntesis, luego funciones como sin o √ y los signos escritos tras un número, como ! y %; las potencias se leen de derecha a izquierda, de modo que 2^3^2 da 512 y −2² da −4. Después × y ÷ de izquierda a derecha, y por último + y −. Un número pegado a un paréntesis o a π se multiplica como con ×, así que 8 ÷ 2(2+2) da 16; para la otra lectura, escribe 8 ÷ (2(2+2)). Los últimos 30 cálculos se guardan en tu navegador, y un resultado igual a una fracción sencilla se muestra también como fracción.
En palabras sencillas
La jerarquía de operaciones es como vestirse: los calcetines van antes que los zapatos, aunque los menciones en otro orden. Los paréntesis son la bolsa que se abre primero, después vienen las potencias, luego × y ÷, y + y − son la última capa, de izquierda a derecha.
Pruébalo
Abre la calculadora científica y escribe 20 − 10 ÷ 5 × 3, después 8 ÷ 2(2+2) y después 8 ÷ (2(2+2)).
Resultado esperado
14 en el primer caso, 16 en el segundo, porque la multiplicación implícita se trata como ×, y 1 en el tercero, donde los paréntesis agrupan primero 2(2+2).
Comprueba tu respuesta: Resuelve a mano 6 + 2 × (5 − 1)² ÷ 4.
14. Paréntesis: 5 − 1 = 4. Potencia: 4² = 16. Luego × y ÷ de izquierda a derecha: 2 × 16 = 32 y 32 ÷ 4 = 8. Por último, 6 + 8 = 14.
Preguntas y respuestas
¿Siempre se multiplica antes de dividir?
No. Multiplicar y dividir comparten escalón y se hacen de izquierda a derecha, vaya delante la que vaya. 12 ÷ 3 × 2 es 8, no 2.
¿PEMDAS y BODMAS son lo mismo?
Sí. Las dos indican paréntesis, luego potencias, luego multiplicación y división juntas, y luego suma y resta juntas. Solo cambian las palabras y el orden de las letras.
Aprende la regla como cuatro pasos y no como seis letras, y comprueba tus cuentas con la calculadora gratuita de VITON13 SCHOOL: escribe la expresión, compara su resultado con el tuyo y pon paréntesis allí donde un lector pueda dudar.
Fuentes y lecturas
- Order of operations — Wikipedia ↗Fuentes revisadas:
- Precedence — Wolfram MathWorld ↗Fuentes revisadas:
- H. Wu, University of California, Berkeley: “Order of operations” and other oddities in school mathematics ↗Fuentes revisadas: