Порядок действий в математике: правило, скобки, степени и примеры
Порядок действий в математике — договорённость о том, как вычислять выражение: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, затем умножение и деление по порядку слева направо, и в конце сложение и вычитание тоже слева направо. Поэтому 3 + 4 × 2 = 11, а не 14. В англоязычных школах то же правило зовут PEMDAS или BODMAS.
Без общего правила выражение 3 + 4 × 2 могло бы равняться и 14, и 11. Порядок действий снимает этот вопрос, а нужен он для того, чтобы алгебру можно было записывать без леса скобок. Разберём само правило, школьные «ступени» действий и английские PEMDAS и BODMAS, объясним, почему умножение и деление идут слева направо, как читать степень в степени и почему 8 : 2(2+2) спорят даже взрослые. В конце — примеры и бесплатный калькулятор для проверки.
Главные идеи
- Скобки, затем степени, затем умножение и деление вместе слева направо, затем сложение и вычитание вместе слева направо.
- В российской школе сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление — второй; английские PEMDAS и BODMAS говорят о том же.
- Степень в степени читают сверху вниз: 2^3^2 = 2^9 = 512, а −3² = −9, потому что степень вычисляется раньше минуса.
- 8 : 2(2+2) равно 16, если умножение без знака считать обычным ×, и 1, если оно связывает сильнее; скобки снимают сомнения.
Каков порядок действий в математике?
Порядок действий — общепринятое правило, которое говорит, что в выражении считать раньше: действия в скобках, затем степени, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Действия одного ранга выполняют слева направо. Благодаря этому у выражения 3 + 4 × 2 одно значение — 11: умножение идёт раньше сложения.
Правило делает запись короткой. Многочлен 17x⁸ + 2x⁷ + 3x + 4 понимают как (17(x⁸)) + (2(x⁷)) + (3x) + 4: сначала степени, потом умножения, потом сложения. Если бы все действия выполнялись просто слева направо, все эти скобки пришлось бы выписывать. Правило «умножение раньше сложения» входит в алгебраическую запись с XVII века.
Скобки главнее всего: (3 + 4) × 2 = 14. Внутри скобок действует тот же порядок, а вложенные скобки раскрывают изнутри наружу: 7 + (6 × 5² + 3) = 7 + (6 × 25 + 3) = 7 + 153 = 160.
Ступени действий, PEMDAS и BODMAS: в чём разница?
Различаются только названия. В российских учебниках сложение и вычитание — действия первой ступени, умножение и деление — второй, и действия второй ступени выполняют раньше. В США то же правило запоминают по сокращению PEMDAS: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание. В Великобритании и других странах Содружества говорят BODMAS, встречаются также BIDMAS и BEDMAS — последний распространён в Канаде и Новой Зеландии.
У всех английских сокращений одна ловушка: буквы подсказывают строгую очерёдность, которой нет. Умножение и деление — один шаг, сложение и вычитание — тоже. В PEMDAS M стоит раньше D, в BODMAS — наоборот, а смысл один и тот же. Если понять сокращение буквально и сделать все сложения раньше вычитаний, пример 10 − 4 + 3 решится неверно: слева направо получается 9, а не 3.
Почему умножение и деление выполняют слева направо?
Раз у них одинаковый ранг, их выполняют в том порядке, в котором они записаны. 20 − 10 : 5 × 3 = 20 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14; если сначала умножить, получится неверное 20 − 10 : 15. Цепочка делений проверяет это лучше всего: 100 : 10 : 2 = 10 : 2 = 5, а не 100 : 5 = 20.
Со степенями всё наоборот. Степень в степени читают сверху вниз: 2^3^2 означает 2^(3^2) = 2^9 = 512, а не (2^3)^2 = 64. Программы здесь не единодушны: некоторые электронные таблицы считают 2^3^2 слева направо и выдают 64. Минус перед числом тоже применяется после степени: −3² = −(3²) = −9, а (−3)² = 9, хотя некоторые электронные таблицы и здесь выдают для −3² ответ 9.
Знаменитый пример 8 : 2(2+2) показывает, где правило заканчивается. После скобок остаётся 8 : 2(4). Если умножение без знака 2(4) считать обычным ×, то слева направо 8 : 2 × 4 = 16. Если число, вплотную приписанное к скобке, считать одним целым, как часто делают в научных текстах, выходит 8 : 8 = 1; например, правила оформления журнала Physical Review прямо отдают умножению приоритет над делением.
Ни один из ответов не грубая ошибка: выражение двусмысленно, и калькуляторы тоже расходятся — одна распространённая школьная модель отвечает на 6 : 2(1+2) единицей, другая — девяткой. Математик Хун-Си Ву называет такие головоломки надуманными. Честный выход — написать то, что имеется в виду: (8 : 2)(2 + 2) = 16 или 8 : (2(2 + 2)) = 1.
Как калькуляторы соблюдают порядок действий?
Простой калькулятор, который выполняет действия по мере нажатия клавиш, может правило игнорировать: на нём 1 + 2 × 3 даёт 9, потому что сложение выполняется раньше умножения, а инженерный калькулятор даёт 7. Прежде чем доверять длинному расчёту, проверьте калькулятор примером 1 + 2 × 3.
Примеры, чтобы решить вручную и проверить: 2 + 3 × 4² = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50. (2 + 3) × 4² = 5 × 16 = 80. 18 : 3 × 2 = 6 × 2 = 12. 10 − 4 − 3 = 6 − 3 = 3, а не 10 − 1 = 9.
Бесплатный инженерный калькулятор VITON13 SCHOOL следует описанному правилу и показывает результат прямо во время набора, так что видно, как скобка меняет ответ. Сначала скобки, затем функции вроде sin и √ и знаки после числа, например ! и %; степени читаются справа налево, поэтому 2^3^2 даёт 512, а −2² даёт −4. Дальше умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание. Число, приписанное к скобке или к π, умножается как при ×, поэтому 8 ÷ 2(2+2) даёт 16; для другого прочтения наберите 8 ÷ (2(2+2)). Последние 30 вычислений хранятся в вашем браузере, а результат, равный простой дроби, показывается и обыкновенной дробью.
Простыми словами
Порядок действий похож на то, как мы одеваемся: носки надевают раньше ботинок, в каком бы порядке их ни перечислили. Скобки — сумка, которую открывают первой, затем степени, затем умножение и деление, а сложение и вычитание — последний слой, слева направо.
Попробуйте сами
Откройте инженерный калькулятор и наберите 20 − 10 ÷ 5 × 3, затем 8 ÷ 2(2+2), затем 8 ÷ (2(2+2)).
Ожидаемый результат
14 в первом случае, 16 во втором, потому что умножение без знака считается обычным ×, и 1 в третьем, где скобки сначала собирают 2(2+2).
Проверьте себя: Вычислите вручную 6 + 2 × (5 − 1)² : 4.
14. Скобки: 5 − 1 = 4. Степень: 4² = 16. Затем умножение и деление слева направо: 2 × 16 = 32 и 32 : 4 = 8. В конце 6 + 8 = 14.
Вопросы и ответы
Умножение всегда выполняют раньше деления?
Нет. Умножение и деление — действия одной ступени, их выполняют слева направо, что бы ни шло первым. 12 : 3 × 2 = 8, а не 2.
Чем PEMDAS отличается от BODMAS?
Ничем, кроме слов. Оба сокращения означают: скобки, затем степени, затем умножение и деление вместе, затем сложение и вычитание вместе. Различаются только названия и порядок букв.
Запомните правило как четыре шага, а не как набор букв, и проверяйте себя в бесплатном калькуляторе VITON13 SCHOOL: наберите выражение, сравните ответ со своим и ставьте скобки везде, где читатель может засомневаться.
Источники и дальнейшее чтение
- Order of operations — Wikipedia ↗Источники проверены:
- Precedence — Wolfram MathWorld ↗Источники проверены:
- H. Wu, University of California, Berkeley: “Order of operations” and other oddities in school mathematics ↗Источники проверены: