Как быстро выучить таблицу умножения: приёмы, порядок и тренировка
Быстро выучить таблицу умножения помогают закономерности, которые верны всегда: a × b = b × a сокращает таблицу вдвое, ×5 — половина от ×10, ×9 — это ×10 минус само число, а ×4 и ×8 — удвоение два и три раза. С ними и квадратами в таблице 10 × 10 наизусть остаётся учить лишь десять примеров из 55.
Выучить таблицу умножения — во многом значит увидеть, как она устроена. Когда ясно, какие примеры достаются даром, задача сжимается со ста клеток до горстки трудных случаев. Ниже — закономерности, которые никогда не подводят, порядок, в котором их удобно осваивать, и то, как тренироваться по несколько минут в день. В конце — бесплатная таблица умножения с тренажёром.
Главные идеи
- От перестановки множителей произведение не меняется: 7 × 8 = 8 × 7, поэтому в таблице 10 × 10 не 100 разных примеров, а 55, в таблице 12 × 12 — 78.
- У ×2, ×5, ×9, ×10 и ×11 есть правила, по которым ответ находится сразу; ×4 и ×8 — это удвоение подряд.
- Если учить в разумном порядке, в таблице 10 × 10 без приёма остаются всего три примера: 3 × 6 = 18, 3 × 7 = 21 и 6 × 7 = 42.
- Короткие занятия в разные дни дают больше, чем одно длинное: это эффект интервального повторения, и таблице умножения он подходит идеально.
Почему учить нужно только половину таблицы умножения?
Потому что у каждого примера есть пара: a × b всегда равно b × a. Это переместительный закон умножения. Три ряда по семь точек, если повернуть картинку на четверть оборота, превращаются в семь рядов по три точки, значит, 3 × 7 и 7 × 3 — это одно и то же число 21. В таблице Пифагора такие пары зеркально отражаются относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла.
Если считать каждую пару один раз, в таблице 10 × 10 остаётся 55 разных примеров вместо 100, а в таблице 12 × 12 — 78 вместо 144. У клеток на диагонали пары нет: это квадраты чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 и 100, где число умножается само на себя.
Сами таблицы очень древние. Самые старые из известных таблиц умножения были у вавилонян около 4000 лет назад, причём в шестидесятеричной системе; самые старые десятичные — китайские бамбуковые планки примерно 305 года до н. э. А в 1799 году Маргарет Логан Лейт вышила зелёным шёлком таблицу 12 × 12 — эта вышивка и есть на фотографии к статье.
Какие приёмы помогают запомнить каждый столбик таблицы?
×2 — это удвоение: 2 × 8 = 8 + 8 = 16, и все ответы чётные. ×10 приписывает к целому числу ноль: 10 × 7 = 70. ×5 — половина от ×10: 5 × 8 = 80 : 2 = 40, 5 × 7 = 70 : 2 = 35. Поэтому ответ оканчивается на 0, если второй множитель чётный, и на 5, если нечётный.
Для ×9 есть сразу два приёма. От 9 × 1 до 9 × 10 цифра десятков на единицу меньше второго множителя, а сумма двух цифр равна 9: в 9 × 7 = 63 шестёрка на один меньше семи, и 6 + 3 = 9. На пальцах: вытяните все десять, загните седьмой слева — шесть пальцев до него дают десятки, три после — единицы, получается 63. Если сомневаетесь, считайте так: 9 × n = 10 × n − n, то есть 9 × 7 = 70 − 7 = 63.
×4 — это удвоение два раза, ×8 — три раза: 7 → 14 → 28 → 56, значит, 8 × 7 = 56. ×11 с однозначным числом повторяет цифру: 11 × 6 = 66. Для ×3 пригодится признак делимости: сумма цифр любого числа из столбика на 3 делится на 3, например 3 × 8 = 24 и 2 + 4 = 6 — удобная самопроверка. А 6, умноженное на чётное число, даёт ответ, который оканчивается на ту же цифру: 6 × 4 = 24, 6 × 8 = 48.
Квадраты стоит выучить отдельно. Зная, что 7 × 7 = 49, легко получить соседей, ведь (n − 1) × (n + 1) всегда равно n² − 1: 6 × 8 = 49 − 1 = 48, а 7 × 9 = 64 − 1 = 63. У ×7 удобного правила нет, поэтому семёрку раскладывают на 5 + 2: 7 × 6 = 5 × 6 + 2 × 6 = 30 + 12 = 42.
В каком порядке учить таблицу умножения?
Сначала то, что достаётся даром, трудное — в самом конце. Начните с ×1, ×10 и ×2, затем возьмите ×5 и ×9 с их правилами. В таблице 10 × 10 эти пять столбиков уже закрывают 40 разных примеров из 55.
Дальше идут квадраты: 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49 и 8 × 8 = 64. После них остаётся десять примеров. Двойное удвоение даёт четыре из них: 3 × 4, 4 × 6, 4 × 7 и 4 × 8. Тройное — ещё три: 3 × 8, 6 × 8 и 7 × 8. Наизусть остаётся запомнить всего три факта: 3 × 6 = 18, 3 × 7 = 21 и 6 × 7 = 42.
В таблице 12 × 12 добавляются ×11 и ×12. От 11 × 1 до 11 × 9 цифра просто повторяется, а дальше 11 раскладывают на 10 + 1: 11 × 12 = 120 + 12 = 132. Точно так же 12 — это 10 + 2: 12 × 7 = 70 + 14 = 84.
Как тренировать таблицу умножения каждый день?
Несколько минут почти каждый день полезнее одного долгого занятия. То, что повторяли в несколько отдельных подходов, запоминается лучше, чем тот же объём, выученный за один присест: это эффект интервального повторения, который первым описал Герман Эббингауз. Для таблицы умножения это значит — короткий подход ежедневно, а не час раз в неделю.
Тренируйтесь вспоминать, а не перечитывать таблицу. Сначала назовите или наберите ответ и только потом проверяйте. Перемешивайте примеры, а не проговаривайте столбик подряд: в заученном столбике каждый ответ подсказывает следующий. Больше всего времени отдавайте примерам, где ошиблись или долго думали, а к лёгким возвращайтесь лишь изредка.
Бесплатная таблица умножения VITON13 SCHOOL сделана как раз для этого. В режиме «Таблица» выберите размер 10 × 10, 12 × 12 или 20 × 20, нажмите на клетку, чтобы увидеть пример и его пару, подсветите квадраты, кратные или чётные и нечётные числа и распечатайте аккуратную таблицу на лист A4. В режиме «Столбик» выберите число от 1 до 20 — появится весь его столбик с подсказками, а ответы можно скрыть и проверить себя. В тренажёре режим «Практика» спрашивает каждый пример по разу и возвращает ошибку, пока не ответите верно, спринт на 60 секунд считает правильные ответы, а в конце тепловая карта показывает, где были ошибки и заминки.
Простыми словами
Учить таблицу умножения — всё равно что осваивать город: не нужно помнить каждую улицу, достаточно знать несколько проспектов и то, как к ним выходят переулки. ×2, ×5, ×9 и ×10 — это проспекты, а пары и удвоение приводят почти в любую точку.
Попробуйте сами
Откройте таблицу умножения, перейдите в тренажёр, выберите 6, 7 и 8 и пройдите один раунд в режиме «Практика».
Ожидаемый результат
Счёт и точность, время на один верный ответ и тепловая карта: какие примеры решены сразу, какие — медленно, а где была ошибка.
Проверьте себя: Без таблицы найдите 8 × 7 удвоением и 9 × 6 по правилу девятки.
8 × 7 = 56: удвойте 7 три раза, 7 → 14 → 28 → 56. 9 × 6 = 54: цифра десятков на один меньше шести, то есть 5, а сумма цифр равна 9, значит, единиц 4. Проверка: 60 − 6 = 54.
Вопросы и ответы
Учить таблицу умножения по порядку или вразнобой?
Новое число сначала разберите отдельно, вместе с его правилом, а тренируйте уже вразнобой. Столбик подряд подсказывает каждый следующий ответ, а перемешанные вопросы заставляют вспоминать каждый пример самостоятельно.
Почему работает приём с девяткой?
Потому что 9 × n = 10 × n − n. Если из n десятков вычесть n, цифра десятков уменьшается на единицу, а в разряде единиц остаётся 10 − n, поэтому сумма цифр равна (n − 1) + (10 − n) = 9. Правило верно от 9 × 1 до 9 × 10.
Откройте бесплатную таблицу умножения VITON13 SCHOOL сегодня, разберите одно число с подсказкой и пройдите короткий раунд в тренажёре; завтра повторите, а тепловая карта подскажет, какие примеры тренировать дальше.
Источники и дальнейшее чтение
- Multiplication table — Wikipedia ↗Источники проверены:
- Spacing effect — Wikipedia ↗Источники проверены:
- Divisibility rule — Wikipedia ↗Источники проверены: