Сложение дробей: одинаковые и разные знаменатели, смешанные числа и сокращение
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, складывают числители, а знаменатель оставляют прежним: 2/7 + 3/7 = 5/7. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю — лучше всего к наименьшему общему кратному знаменателей, — затем складывают числители и сокращают: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
Всё сложение дробей держится на одной мысли: складывать можно только доли одинакового размера. Ниже — правило для равных знаменателей, наименьший общий знаменатель для разных, смешанные числа и вычитание, сокращение ответа с помощью наибольшего общего делителя. На каждом шаге есть пример с решением, а в конце — бесплатный калькулятор, который проверит ответ и распишет ход решения.
Главные идеи
- Знаменатели одинаковые — складываем числители, знаменатель не трогаем: 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. Знаменатели между собой не складывают.
- Знаменатели разные — приводим дроби к наименьшему общему знаменателю, то есть к НОК знаменателей, и складываем: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Смешанные числа сначала превращаем в неправильные дроби: 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4. Вычитание идёт по тем же шагам, только со знаком минус.
- Чтобы сократить дробь, делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель: 63/462 после деления на 21 становится несократимой дробью 3/22.
Как складывать дроби с одинаковыми знаменателями
Складываем числители, знаменатель оставляем. Знаменатель говорит, на какие доли разделено целое, а числитель — сколько таких долей взято. Две четверти и три четверти — это пять четвертей: 2/4 + 3/4 = 5/4. Складывать можно только одинаковые величины, поэтому доли и должны быть одного размера.
Пример: 3/8 + 1/8. Знаменатели равны 8, значит, 3 + 1 = 4, и получаем 4/8. Ответ верный, но не окончательный: 4/8 сокращается до 1/2. Самая частая ошибка — сложить ещё и знаменатели. Легко увидеть, что так нельзя: тогда 1/2 + 1/2 дало бы 2/4, то есть снова половину, а не целое.
Вычитание устроено так же: 7/9 − 4/9 = 3/9, после сокращения — 1/3. Если числитель вышел больше знаменателя, получилась неправильная дробь, и её можно записать смешанным числом: 5/4 = 1 1/4, потому что 5 делится на 4 с частным 1 и остатком 1.
Как сложить дроби с разными знаменателями
Дроби приводят к общему знаменателю и складывают числители. Самый маленький общий знаменатель — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок такой: сначала находим НОК, потом умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы внизу получилось НОК, затем складываем числители и в конце сокращаем.
Возьмём 1/4 + 1/6. Кратные 4: 4, 8, 12…; кратные 6: 6, 12…; значит, НОК равно 12. Дополнительный множитель для 1/4 — 3, получаем 3/12; для 1/6 — 2, получаем 2/12. Итого 3/12 + 2/12 = 5/12. Пример посложнее: 5/12 + 11/18. НОК чисел 12 и 18 равно 36, поэтому сумма равна 15/36 + 22/36 = 37/36, или 1 1/36.
Произведение знаменателей тоже всегда годится в общий знаменатель: 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12. Только оно не всегда наименьшее. Для 3/4 + 5/6 произведение равно 24: 18/24 + 20/24 = 38/24 = 19/12, а через НОК 12 сразу выходит 9/12 + 10/12 = 19/12. Вычитание дробей с разными знаменателями такое же: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.
Как складывать и вычитать смешанные числа
Каждое смешанное число переводим в неправильную дробь, складываем или вычитаем по обычным правилам и переводим ответ обратно. Для перевода целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель: 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4.
Пример: 1 1/2 + 2 2/3. После перевода это 3/2 + 8/3. НОК чисел 2 и 3 равно 6, поэтому 9/6 + 16/6 = 25/6, а 25 : 6 = 4 (остаток 1) даёт 4 1/6. Можно сложить отдельно целые части и дробные: 1 + 2 = 3 и 1/2 + 2/3 = 7/6 = 1 1/6, и в сумме снова 4 1/6.
Вычитание: 3 1/4 − 1 2/3 = 13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12. Если считать по частям, придётся занять единицу, ведь 1/4 меньше 2/3: берём 1 из трёх целых, получаем 2 5/4, затем 5/4 − 2/3 = 15/12 − 8/12 = 7/12 и 2 − 1 = 1. Ответ тот же — 1 7/12.
Как сократить дробь и проверить ответ
Числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель (НОД) — получается та же дробь в несократимом виде. У 6/8 НОД равен 2, поэтому 6/8 = 3/4. У 63/462 НОД равен 21, и дробь превращается в 3/22. Дробь несократима, когда НОД числителя и знаменателя равен 1, как у 5/12.
Для больших чисел НОД удобно искать алгоритмом Евклида: делим большее число на меньшее с остатком, затем меньшее — на остаток, и так до нулевого остатка. Последний ненулевой остаток и есть НОД. Для 462 и 63: 462 = 7 × 63 + 21, затем 63 = 3 × 21 + 0, значит, НОД равен 21. С небольшими числами можно сокращать постепенно, на общие множители: 18/24 → 9/12 → 3/4.
Для проверки домашнего задания откройте бесплатный калькулятор дробей в VITON13 SCHOOL. Введите до четырёх чисел — целое, дробь или смешанное число — со знаками + − × ÷ между ними либо перейдите в режим «Выражение» и наберите 1 1/2 + 2 2/3. Ответ появится несократимой дробью, смешанным числом, десятичной дробью и в процентах, а под ним — каждый шаг: перевод смешанных чисел, наименьший общий знаменатель, дополнительные множители и сокращение на НОД. Режим «Сократить» расписывает алгоритм Евклида для одной дроби, а полоски или круги показывают величины.
Простыми словами
Дроби похожи на куски пиццы: пересчитать их вместе можно, только если куски одного размера. Четвертинки и шестые доли сначала режут на двенадцатые, а потом просто считают двенадцатые.
Попробуйте сами
Сложите 2/3 + 3/4 на бумаге через наименьший общий знаменатель, затем введите ту же сумму в калькулятор дробей и сравните его шаги со своими.
Ожидаемый результат
Общий знаменатель 12, дроби 8/12 и 9/12, сумма 17/12 и смешанное число 1 5/12.
Проверьте себя: Чему равно 3/10 + 1/6 в несократимом виде?
7/15. НОК чисел 10 и 6 равно 30, поэтому 3/10 = 9/30, а 1/6 = 5/30. Сумма 9/30 + 5/30 = 14/30; делим числитель и знаменатель на НОД, равный 2, и получаем 7/15.
Вопросы и ответы
Складывают ли знаменатели при сложении дробей?
Нет. Знаменатель показывает размер долей, поэтому после приведения к общему знаменателю он не меняется, а складываются только числители. Если сложить и знаменатели, то 1/2 + 1/2 дало бы 2/4 — половину вместо целого.
Обязательно ли брать наименьший общий знаменатель?
Нет, подойдёт любой общий знаменатель, например произведение знаменателей. Наименьший просто держит числа маленькими, а после сокращения ответ в любом случае получится одинаковый.
Знаменатели одинаковые — складываем числители. Разные — находим НОК, приводим дроби, складываем и сокращаем на НОД. Решите несколько примеров на бумаге и проверьте каждый в бесплатном калькуляторе дробей VITON13 SCHOOL: он распишет все шаги.
Источники и дальнейшее чтение
- Wikipedia: Fraction (arithmetic with fractions) ↗Источники проверены:
- Wikipedia: Lowest common denominator ↗Источники проверены:
- Wikipedia: Euclidean algorithm ↗Источники проверены: