Деление дробей: правило, примеры и почему оно работает
Чтобы разделить дробь на дробь, первую дробь умножают на дробь, обратную второй: первую оставляют, знак деления меняют на умножение, а вторую переворачивают. Например, 3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Умножение ещё проще: числитель умножают на числитель, а знаменатель — на знаменатель.
Правило деления дробей поначалу кажется странным: делим, а умножать приходится. Ниже сначала разобрано умножение дробей, затем деление по шагам, объяснение, почему умножение на обратную дробь даёт верный ответ, и случаи со смешанными и натуральными числами — везде с примерами. В конце — бесплатный калькулятор, который проверит ответ и распишет решение.
Главные идеи
- При умножении дробей числители перемножают отдельно, знаменатели отдельно: 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Общий знаменатель не нужен.
- При делении первую дробь оставляют, деление меняют на умножение, а вторую дробь переворачивают: 3/4 : 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
- Правило работает, потому что деление на число равно умножению на обратное ему число: 3 : 1/2 = 6, ведь в трёх целых шесть половинок.
- Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби, натуральное число n записывают как n/1, а на ноль делить нельзя.
Как умножать дроби
Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель, а результат сокращают. В отличие от сложения, общий знаменатель здесь не нужен. Например, 2/3 × 3/4 = (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12, а 6/12 после сокращения равно 1/2.
Сокращать можно и до умножения, чтобы числа оставались маленькими. В 2/3 × 3/4 тройки сверху и снизу сокращаются, а у 2 и 4 есть общий множитель 2, поэтому сразу получается 1/1 × 1/2 = 1/2. Натуральное число записывают дробью со знаменателем 1: 3 × 2/5 = 3/1 × 2/5 = 6/5, то есть 1 1/5.
Найти часть от числа — значит умножить: половина от трёх четвертей равна 1/2 × 3/4 = 3/8. Заодно этот пример показывает полезное свойство: умножение на правильную дробь, меньшую единицы, уменьшает число — 3/8 меньше, чем 3/4.
Как делить дробь на дробь
Делимое умножают на дробь, обратную делителю. Обратная к дроби a/b — это b/a, то есть число, которое при умножении на a/b даёт ровно 1: 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Только у нуля нет обратного числа — никакое число, умноженное на 0, не даёт 1, — поэтому делить на ноль нельзя.
Порядок действий такой. Для 3/4 : 2/5 сначала оставляем 3/4 без изменений, затем меняем знак деления на умножение и, наконец, переворачиваем 2/5 в 5/2. Теперь умножаем: 3/4 × 5/2 = 15/8, а смешанным числом это 1 7/8. Ещё пример: 1/2 : 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3.
Переворачивают только делитель, то есть вторую дробь. Если по ошибке перевернуть первую, получится 4/3 × 2/5 = 8/15 — число, обратное правильному ответу 15/8. Проверить результат просто: умножьте его на делитель, и должно получиться делимое: 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4.
Почему деление заменяют умножением на обратную дробь
Деление на число даёт тот же результат, что и умножение на обратное ему число. Деление отвечает на вопрос, сколько раз делитель помещается в делимом, или какое число при умножении на делитель даёт делимое, а умножение на обратную дробь отвечает ровно на этот вопрос.
Начнём с наглядного. Сколько половинок в трёх целых? Шесть, поэтому 3 : 1/2 = 6 — то же самое, что 3 × 2. С мерными стаканчиками так же: в стаканчик на 1/2 чашки помещаются два стаканчика по 1/4, поэтому 1/2 : 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2, а 3/4 чашки наполняют четвертинку три раза, ведь 3/4 × 4/1 = 12/4 = 3.
В общем виде: если a/b : c/d = x, то x × c/d = a/b. Умножим обе части на d/c; так как c/d × d/c = 1, получаем x = a/b × d/c. Есть и способ без переворачивания: привести дроби к общему знаменателю и разделить числители. 3/4 : 2/5 = 15/20 : 8/20 = 15 : 8 = 15/8 — ответ тот же.
Деление смешанных и натуральных чисел и проверка ответа
Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби — правило «оставить, заменить, перевернуть» работает только с обыкновенными дробями. Для 2 1/2 : 1 1/4: 2 1/2 = 5/2 и 1 1/4 = 5/4, поэтому 5/2 : 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2. Это логично: одна целая и одна четвёртая укладывается в двух с половиной ровно два раза.
Натуральное число записывают со знаменателем 1. Дробь делим на натуральное число: 10/3 : 5 = 10/3 × 1/5 = 10/15 = 2/3; если числитель делится нацело, можно разделить сразу его: 10 : 5 = 2, и снова выходит 2/3. Натуральное число делим на дробь: 4 : 2/3 = 4/1 × 3/2 = 12/2 = 6, то есть 2/3 помещаются в четырёх целых шесть раз.
Для проверки откройте бесплатный калькулятор дробей в VITON13 SCHOOL и поставьте знак ÷ между двумя дробями или наберите 2 1/2 : 1 1/4 в режиме «Выражение». В шагах видно, как смешанные числа становятся неправильными дробями, делитель переворачивается в обратную дробь, перемножаются числители и знаменатели и ответ сокращается на НОД; результат показан обыкновенной дробью, смешанным числом, десятичной дробью и в процентах. Если делитель равен нулю, калькулятор остановится и сообщит, что деление на ноль не имеет значения. В выражении умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, а скобки — первыми.
Простыми словами
Разделить на дробь — значит узнать, сколько таких кусочков поместится. В трёх пиццах шесть половинок, поэтому 3 : 1/2 = 6, и если перевернуть 1/2 в 2 и умножить, выйдут те же шесть.
Попробуйте сами
Вычислите 5/6 : 2/3 на бумаге по правилу деления, затем введите пример в калькулятор дробей и сравните шаги.
Ожидаемый результат
5/6 × 3/2 = 15/12, после сокращения 5/4: смешанное число 1 1/4, десятичная дробь 1,25 и 125 %.
Проверьте себя: Сколько стаканчиков по 1/4 чашки нужно, чтобы набрать 1 1/2 чашки?
Шесть. 1 1/2 = 3/2, а 3/2 : 1/4 = 3/2 × 4/1 = 12/2 = 6.
Вопросы и ответы
Какую дробь переворачивают при делении?
Только вторую — делитель. Первая дробь остаётся как есть; если перевернуть её, получится число, обратное верному ответу.
Можно ли делить дроби, не переворачивая делитель?
Да. Приведите обе дроби к общему знаменателю и разделите числители: 3/4 : 2/5 = 15/20 : 8/20 = 15/8. Ответ совпадёт с результатом по обычному правилу.
Умножаем числители и знаменатели; при делении первую дробь оставляем, деление меняем на умножение, вторую переворачиваем. Смешанные числа переводим заранее, натуральные пишем со знаменателем 1, а каждый ответ проверяем в бесплатном калькуляторе дробей VITON13 SCHOOL, который показывает все шаги.
Источники и дальнейшее чтение
- Wikipedia: Fraction (multiplication and division of fractions) ↗Источники проверены:
- Wikipedia: Multiplicative inverse (reciprocal) ↗Источники проверены:
- Mathwords: Keep Change Flip ↗Источники проверены: