Division de fractions : la règle, pourquoi elle marche et des exemples corrigés
Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l’inverse de la seconde : on garde la première, on remplace ÷ par × et on retourne la seconde. Par exemple, 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. La multiplication est plus simple encore : numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur.
La règle de la division de fractions surprend au début, puisqu’elle demande de multiplier. Ce guide commence par la multiplication des fractions, détaille la division étape par étape, explique pourquoi multiplier par l’inverse donne le bon résultat et traite les nombres mixtes et les entiers, toujours avec des exemples corrigés. Pour finir, une calculatrice gratuite vérifie chaque réponse et écrit le calcul.
Idées essentielles
- Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Pas besoin de dénominateur commun.
- Pour diviser, on garde la première fraction, on remplace ÷ par × et on retourne la seconde : 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
- Cela marche parce que diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse : 3 ÷ 1/2 = 6, car trois unités contiennent six moitiés.
- On convertit les nombres mixtes en fractions avant de retourner quoi que ce soit, on écrit un entier n sous la forme n/1, et l’on ne divise jamais par zéro.
Comment multiplier des fractions ?
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie. Contrairement à l’addition, aucun dénominateur commun n’est nécessaire. Par exemple, 2/3 × 3/4 = (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12, et 6/12 se simplifie en 1/2.
On peut simplifier avant de multiplier pour garder de petits nombres. Dans 2/3 × 3/4, le 3 du haut et celui du bas s’éliminent, et 2 et 4 ont 2 pour facteur commun, ce qui laisse tout de suite 1/1 × 1/2 = 1/2. Un nombre entier s’écrit avec le dénominateur 1 : 3 × 2/5 = 3/1 × 2/5 = 6/5, soit 1 1/5.
Prendre une fraction « de » quelque chose, c’est multiplier : la moitié de trois quarts vaut 1/2 × 3/4 = 3/8. L’exemple montre aussi une chose utile : multiplier par une fraction inférieure à 1 rend le nombre plus petit, puisque 3/8 est moins que 3/4.
Comment faire une division de fractions ?
On multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde. L’inverse de a/b est b/a, le nombre qui, multiplié par a/b, donne exactement 1 : 2/5 × 5/2 = 10/10 = 1. Zéro est le seul nombre sans inverse, car rien multiplié par 0 ne donne 1, et c’est pourquoi la division par zéro n’a pas de résultat.
La méthode tient en trois gestes. Pour 3/4 ÷ 2/5 : d’abord on garde 3/4 tel quel, ensuite on remplace le signe de division par celui de multiplication, enfin on retourne 2/5, qui devient 5/2. On multiplie : 3/4 × 5/2 = 15/8, soit 1 7/8 en nombre mixte. Autre exemple : 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 × 4/3 = 4/6 = 2/3.
Seul le diviseur, la seconde fraction, est retourné. Si l’on retourne la première par erreur, on obtient 4/3 × 2/5 = 8/15, l’inverse exact de la bonne réponse, 15/8. Pour vérifier, on multiplie le résultat par le diviseur et l’on doit retrouver la première fraction : 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4.
Pourquoi multiplier par l’inverse fonctionne-t-il ?
Diviser par un nombre donne le même résultat que multiplier par son inverse. La division demande combien de fois le diviseur tient dans le premier nombre, ou quel nombre multiplié par le diviseur redonne le premier, et la multiplication par l’inverse répond exactement à cette question.
Partons d’une image. Combien de moitiés dans 3 unités ? Six, donc 3 ÷ 1/2 = 6, comme 3 × 2. Les tasses à mesurer obéissent à la même logique : la tasse de 1/2 contient deux mesures de 1/4, donc 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2, et 3/4 de tasse remplissent la mesure de 1/4 trois fois, car 3/4 × 4/1 = 12/4 = 3.
De façon générale, si a/b ÷ c/d = x, alors x × c/d = a/b. En multipliant les deux membres par d/c, comme c/d × d/c = 1, on obtient x = a/b × d/c. Il existe aussi une voie sans retourner : réduire les deux fractions au même dénominateur et diviser les numérateurs. 3/4 ÷ 2/5 = 15/20 ÷ 8/20 = 15 ÷ 8 = 15/8, le même résultat.
Comment diviser des nombres mixtes et des entiers, puis vérifier ?
On transforme d’abord les nombres mixtes en fractions ; la règle du retournement ne s’applique qu’aux fractions simples. Pour 2 1/2 ÷ 1 1/4 : 2 1/2 = 5/2 et 1 1/4 = 5/4, donc 5/2 ÷ 5/4 = 5/2 × 4/5 = 20/10 = 2. C’est logique : un et quart tient exactement deux fois dans deux et demi.
Un entier s’écrit sur 1. Fraction divisée par un entier : 10/3 ÷ 5 = 10/3 × 1/5 = 10/15 = 2/3 ; quand le numérateur est divisible, on peut aussi le diviser directement, 10 ÷ 5 = 2, ce qui redonne 2/3. Entier divisé par une fraction : 4 ÷ 2/3 = 4/1 × 3/2 = 12/2 = 6, autrement dit 2/3 tient six fois dans quatre unités.
Pour vérifier, ouvrez la calculatrice de fractions gratuite de VITON13 SCHOOL et placez ÷ entre deux fractions, ou tapez 2 1/2 ÷ 1 1/4 en mode « Expression ». Les étapes montrent la conversion des nombres mixtes, le diviseur retourné en son inverse, la multiplication des numérateurs et des dénominateurs et la simplification par le PGCD ; le résultat s’affiche en fraction, en nombre mixte, en décimal et en pourcentage. Si un diviseur vaut zéro, la calculatrice s’arrête et indique que la division par zéro n’a pas de valeur. Dans une expression, × et ÷ passent avant + et −, et les parenthèses en premier.
En mots simples
Diviser par une fraction, c’est chercher combien de morceaux de cette taille tiennent dedans. Trois pizzas font six moitiés, donc 3 ÷ 1/2 = 6 ; en retournant 1/2 en 2 et en multipliant, on retrouve les mêmes six.
À vous de jouer
Calculez 5/6 ÷ 2/3 sur papier en retournant le diviseur, puis saisissez-le dans la calculatrice de fractions et comparez les étapes.
Résultat attendu
5/6 × 3/2 = 15/12, simplifié en 5/4 : le nombre mixte 1 1/4, le décimal 1,25 et 125 %.
Vérifiez votre réponse: Combien de mesures de 1/4 de tasse faut-il pour obtenir 1 1/2 tasse ?
Six. 1 1/2 = 3/2, et 3/2 ÷ 1/4 = 3/2 × 4/1 = 12/2 = 6.
Questions et réponses
Quelle fraction retourne-t-on dans une division ?
Seulement la seconde, le diviseur. La première reste telle quelle ; si on la retourne à la place, on obtient l’inverse de la bonne réponse.
Peut-on diviser des fractions sans les retourner ?
Oui. On réduit les deux fractions au même dénominateur et on divise les numérateurs : 3/4 ÷ 2/5 = 15/20 ÷ 8/20 = 15/8. Le résultat est identique à celui de la règle habituelle.
Pour multiplier, numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur ; pour diviser, on garde la première fraction, on remplace ÷ par × et on retourne la seconde. Convertissez d’abord les nombres mixtes, écrivez les entiers sur 1 et vérifiez chaque résultat dans la calculatrice de fractions gratuite de VITON13 SCHOOL, qui détaille toutes les étapes.
Sources et lectures
- Wikipedia: Fraction (multiplication and division of fractions) ↗Sources consultées:
- Wikipedia: Multiplicative inverse (reciprocal) ↗Sources consultées:
- Mathwords: Keep Change Flip ↗Sources consultées: