Priorités opératoires : l’ordre des opérations, PEMDAS et exemples
Les priorités opératoires sont la convention qui fixe l’ordre de calcul d’une expression : d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis multiplications et divisions de gauche à droite, enfin additions et soustractions, elles aussi de gauche à droite. Ainsi 3 + 4 × 2 = 11 et non 14. Les élèves anglophones apprennent la même règle sous les noms PEMDAS ou BODMAS.
Sans ordre convenu, 3 + 4 × 2 pourrait valoir 14 ou 11. Les priorités de calcul tranchent la question, et elles existent pour qu’on puisse écrire l’algèbre sans une forêt de parenthèses. Ce guide énonce la règle, la compare aux sigles anglais PEMDAS, BODMAS et BIDMAS, explique pourquoi multiplication et division forment une même étape, comment se lisent les puissances empilées et pourquoi 8 ÷ 2(2+2) divise internet, avec des exemples corrigés et une calculatrice gratuite pour vérifier.
Idées essentielles
- Parenthèses, puis puissances, puis × et ÷ ensemble de gauche à droite, puis + et − ensemble de gauche à droite.
- PEMDAS, BODMAS, BIDMAS et BEDMAS désignent une seule règle ; le M avant le D de PEMDAS ne veut pas dire qu’on multiplie d’abord.
- Les puissances empilées se lisent de haut en bas : 2^3^2 = 2^9 = 512 ; et −3² = −9, car la puissance passe avant le signe moins.
- 8 ÷ 2(2+2) vaut 16 si la multiplication implicite compte comme un ×, et 1 si elle est prioritaire ; des parenthèses lèvent le doute.
Quelles sont les priorités de calcul ?
Les priorités opératoires sont une convention qui indique quelle partie d’une expression calculer en premier : les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. Les opérations de même rang se font de gauche à droite. Grâce à elle, 3 + 4 × 2 n’a qu’une valeur, 11, car la multiplication passe avant l’addition.
La convention sert à alléger l’écriture. Un polynôme comme 17x⁸ + 2x⁷ + 3x + 4 se comprend comme (17(x⁸)) + (2(x⁷)) + (3x) + 4 : d’abord les puissances, puis les multiplications, puis les additions. Si tout se faisait simplement de gauche à droite, il faudrait écrire toutes ces parenthèses. La règle « la multiplication avant l’addition » fait partie de la notation algébrique depuis le XVIIe siècle.
Les parenthèses passent avant tout : (3 + 4) × 2 = 14. À l’intérieur, le même ordre s’applique, et les parenthèses imbriquées se calculent de l’intérieur vers l’extérieur : 7 + (6 × 5² + 3) = 7 + (6 × 25 + 3) = 7 + 153 = 160.
PEMDAS, BODMAS, BIDMAS : quelle différence ?
Seuls les noms changent. PEMDAS, courant aux États-Unis, reprend les initiales anglaises de parenthèses, exposants, multiplication et division, addition et soustraction. BODMAS, en usage au Royaume-Uni et dans d’autres pays du Commonwealth, dit brackets (parenthèses), orders (puissances), division et multiplication, addition et soustraction. BIDMAS appelle les puissances indices, et BEDMAS est la forme courante au Canada et en Nouvelle-Zélande.
Tous ces sigles cachent le même piège : les lettres suggèrent un ordre strict qui n’existe pas. Multiplication et division forment une seule étape, tout comme addition et soustraction. PEMDAS place le M avant le D, BODMAS le D avant le M, et pourtant ils disent la même chose. Prendre le sigle au pied de la lettre, en faisant toutes les additions avant la moindre soustraction, fausse 10 − 4 + 3 : de gauche à droite, on obtient 9, pas 3.
Pourquoi multiplier et diviser de gauche à droite ?
Comme elles ont le même rang, on les effectue dans l’ordre où elles apparaissent. 20 − 10 ÷ 5 × 3 donne 20 − 2 × 3 = 20 − 6 = 14 ; multiplier d’abord mènerait au faux 20 − 10 ÷ 15. Les chaînes de divisions sont le test le plus net : 100 ÷ 10 ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5, et non 100 ÷ 5 = 20.
Les puissances vont dans l’autre sens. Une pile d’exposants se lit de haut en bas : 2^3^2 signifie 2^(3^2) = 2^9 = 512, et non (2^3)^2 = 64. Les logiciels ne sont pas unanimes : certains tableurs lisent 2^3^2 de gauche à droite et renvoient 64. Un signe moins en tête s’applique lui aussi après la puissance : −3² = −(3²) = −9, alors que (−3)² = 9, même si certains tableurs donnent encore 9 pour −3².
Le célèbre 8 ÷ 2(2+2) montre où la convention s’arrête. Après la parenthèse, il reste 8 ÷ 2(4). Si la multiplication implicite 2(4) est traitée comme un × ordinaire, on obtient de gauche à droite 8 ÷ 2 × 4 = 16. Si un nombre collé à une parenthèse forme un bloc, comme c’est courant dans les écrits scientifiques, cela donne 8 ÷ 8 = 1 ; les consignes de soumission de la revue Physical Review, par exemple, donnent la priorité à la multiplication sur la division.
Aucune des deux lectures n’est une bévue : l’expression est ambiguë, et les calculatrices non plus ne s’accordent pas, un modèle scolaire très répandu répondant 1 à 6 ÷ 2(1+2) et un autre 9. Le mathématicien Hung-Hsi Wu juge ces énigmes artificielles. La solution honnête consiste à écrire ce que l’on veut dire : (8 ÷ 2)(2 + 2) = 16 ou 8 ÷ (2(2 + 2)) = 1.
Comment les calculatrices appliquent-elles les priorités ?
Une calculatrice simple, qui calcule au fil des touches, peut ignorer la règle : sur elle, 1 + 2 × 3 donne 9, car elle additionne avant de multiplier, alors qu’une calculatrice scientifique donne 7. Avant de vous fier à un long calcul, testez la calculatrice avec 1 + 2 × 3.
Des exemples à faire à la main, puis à vérifier : 2 + 3 × 4² = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50. (2 + 3) × 4² = 5 × 16 = 80. 18 ÷ 3 × 2 = 6 × 2 = 12. 10 − 4 − 3 = 6 − 3 = 3, et non 10 − 1 = 9.
La calculatrice scientifique gratuite de VITON13 SCHOOL suit la convention décrite ici et affiche le résultat pendant la saisie, ce qui permet de voir une parenthèse changer la réponse. Viennent d’abord les parenthèses, puis les fonctions comme sin ou √ et les signes placés après un nombre, comme ! et % ; les puissances se lisent de droite à gauche, si bien que 2^3^2 donne 512 et −2² donne −4. Ensuite × et ÷ de gauche à droite, puis + et −. Un nombre collé à une parenthèse ou à π est multiplié comme avec ×, donc 8 ÷ 2(2+2) donne 16 ; tapez 8 ÷ (2(2+2)) pour l’autre lecture. Les 30 derniers calculs restent dans votre navigateur, et un résultat égal à une fraction simple s’affiche aussi en fraction.
En mots simples
Les priorités de calcul, c’est comme s’habiller : les chaussettes avant les chaussures, dans quelque ordre qu’on les cite. Les parenthèses sont le sac qu’on ouvre en premier, viennent ensuite les puissances, puis × et ÷, et + et − forment la dernière couche, de gauche à droite.
À vous de jouer
Ouvrez la calculatrice scientifique et tapez 20 − 10 ÷ 5 × 3, puis 8 ÷ 2(2+2), puis 8 ÷ (2(2+2)).
Résultat attendu
14 pour le premier, 16 pour le deuxième, car la multiplication implicite est traitée comme un ×, et 1 pour le troisième, où les parenthèses regroupent d’abord 2(2+2).
Vérifiez votre réponse: Calculez à la main 6 + 2 × (5 − 1)² ÷ 4.
14. Parenthèses : 5 − 1 = 4. Puissance : 4² = 16. Puis × et ÷ de gauche à droite : 2 × 16 = 32 et 32 ÷ 4 = 8. Enfin, 6 + 8 = 14.
Questions et réponses
Faut-il toujours multiplier avant de diviser ?
Non. Multiplication et division forment une même étape et se font de gauche à droite, quelle que soit celle qui vient en premier. 12 ÷ 3 × 2 vaut 8, pas 2.
PEMDAS et BODMAS, est-ce la même chose ?
Oui. Les deux donnent les parenthèses, puis les puissances, puis multiplication et division ensemble, puis addition et soustraction ensemble. Seuls les mots et l’ordre des lettres diffèrent.
Retenez la règle en quatre étapes plutôt qu’en six lettres, et vérifiez vos calculs avec la calculatrice gratuite de VITON13 SCHOOL : tapez l’expression, comparez son résultat au vôtre et ajoutez des parenthèses partout où un lecteur pourrait hésiter.
Sources et lectures
- Order of operations — Wikipedia ↗Sources consultées:
- Precedence — Wolfram MathWorld ↗Sources consultées:
- H. Wu, University of California, Berkeley: “Order of operations” and other oddities in school mathematics ↗Sources consultées: