Addition de fractions : même dénominateur, dénominateurs différents, nombres mixtes et simplification
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur : 2/7 + 3/7 = 5/7. Si les dénominateurs sont différents, on réduit d’abord les deux fractions au même dénominateur, de préférence le plus petit multiple commun des dénominateurs, puis on additionne les numérateurs et on simplifie : 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
L’addition de fractions repose sur une seule idée : on n’additionne que des parts de même taille. Ce guide présente la règle pour des dénominateurs égaux, le plus petit dénominateur commun pour des dénominateurs différents, les nombres mixtes et la soustraction, puis la simplification du résultat grâce au plus grand commun diviseur, avec un exemple corrigé à chaque étape. Pour finir, une calculatrice gratuite vérifie votre réponse et détaille le calcul.
Idées essentielles
- Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur, donc 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. On n’additionne jamais les dénominateurs.
- Dénominateurs différents : on réduit au plus petit dénominateur commun, le PPCM des dénominateurs, puis on additionne : 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Les nombres mixtes deviennent d’abord des fractions : 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4. La soustraction suit les mêmes étapes avec un signe moins.
- Pour simplifier, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur : 63/462 divisé par 21 donne la fraction irréductible 3/22.
Comment additionner des fractions de même dénominateur ?
On additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur. Le dénominateur dit en combien de parts l’unité est partagée, le numérateur compte les parts prises : deux quarts plus trois quarts font cinq quarts, soit 2/4 + 3/4 = 5/4. On n’additionne que des quantités de même nature, d’où l’obligation d’avoir des parts de même taille.
Exemple : 3/8 + 1/8. Les deux dénominateurs valent 8, donc 3 + 1 = 4 et l’on obtient 4/8. C’est juste, mais pas terminé, car 4/8 se simplifie en 1/2. L’erreur la plus courante consiste à additionner aussi les dénominateurs. On voit vite que c’est faux : 1/2 + 1/2 donnerait 2/4, c’est-à-dire encore une moitié et non une unité.
La soustraction fonctionne de la même façon : 7/9 − 4/9 = 3/9, qui se simplifie en 1/3. Quand le numérateur dépasse le dénominateur, le résultat est supérieur à 1 et peut s’écrire sous forme de nombre mixte : 5/4 = 1 1/4, car 5 divisé par 4 donne 1, reste 1.
Comment additionner des fractions de dénominateurs différents ?
On réduit les fractions au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs. Le plus petit dénominateur commun est le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs. D’abord on cherche le PPCM, ensuite on multiplie le haut et le bas de chaque fraction par le nombre qui transforme son dénominateur en ce PPCM, puis on additionne les numérateurs et, enfin, on simplifie.
Prenons 1/4 + 1/6. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12… et ceux de 6 sont 6, 12…, donc le PPCM vaut 12. On multiplie 1/4 par 3/3, ce qui donne 3/12, et 1/6 par 2/2, ce qui donne 2/12. Ainsi 3/12 + 2/12 = 5/12. Un cas plus difficile : 5/12 + 11/18. Le PPCM de 12 et 18 est 36, et la somme vaut 15/36 + 22/36 = 37/36, soit 1 1/36.
Le produit des deux dénominateurs donne toujours, lui aussi, un dénominateur commun : 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12. Il n’est simplement pas toujours le plus petit. Pour 3/4 + 5/6, le produit vaut 24 : 18/24 + 20/24 = 38/24 = 19/12, alors qu’avec le PPCM, 12, on obtient directement 9/12 + 10/12 = 19/12. La soustraction est identique : 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.
Comment additionner et soustraire des nombres mixtes ?
On transforme chaque nombre mixte en fraction, on calcule comme d’habitude, puis on revient à un nombre mixte. Pour la conversion, on multiplie la partie entière par le dénominateur et on ajoute le numérateur : 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4.
Exemple : 1 1/2 + 2 2/3. Après conversion, cela fait 3/2 + 8/3. Le PPCM de 2 et 3 est 6, donc 9/6 + 16/6 = 25/6, et 25 divisé par 6 donne 4, reste 1 : 4 1/6. On peut aussi additionner séparément les parties entières et les fractions : 1 + 2 = 3 et 1/2 + 2/3 = 7/6 = 1 1/6, soit de nouveau 4 1/6 au total.
Soustraction : 3 1/4 − 1 2/3 = 13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12. Calculée partie par partie, elle demande une retenue, car 1/4 est plus petit que 2/3 : on prend 1 au 3 pour obtenir 2 5/4, puis 5/4 − 2/3 = 15/12 − 8/12 = 7/12 et 2 − 1 = 1. Le résultat est le même, 1 7/12.
Comment simplifier une fraction et vérifier le résultat ?
On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD) et l’on obtient la même fraction sous forme irréductible. Pour 6/8, le PGCD vaut 2, donc 6/8 = 3/4. Pour 63/462, le PGCD vaut 21, et la fraction devient 3/22. Une fraction est irréductible quand le PGCD de ses deux termes vaut 1, comme pour 5/12.
Avec de grands nombres, on trouve le PGCD par l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, on garde le reste, et l’on recommence avec le plus petit et ce reste jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 462 et 63 : 462 = 7 × 63 + 21, puis 63 = 3 × 21 + 0, donc le PGCD vaut 21. Avec de petits nombres, on peut aussi diviser par des facteurs communs, l’un après l’autre : 18/24 → 9/12 → 3/4.
Pour vérifier un devoir, ouvrez la calculatrice de fractions gratuite de VITON13 SCHOOL. Saisissez jusqu’à quatre nombres, entiers, fractions ou nombres mixtes, avec + − × ÷ entre eux, ou passez en mode « Expression » et tapez 1 1/2 + 2 2/3. La réponse s’affiche en fraction simplifiée, en nombre mixte, en décimal et en pourcentage, avec chaque étape écrite : conversion des nombres mixtes, plus petit dénominateur commun, fractions réécrites et simplification par le PGCD. Le mode « Simplifier » détaille l’algorithme d’Euclide pour une fraction, et des barres ou des disques représentent les grandeurs.
En mots simples
Les fractions ressemblent aux parts d’une pizza : on ne peut les compter ensemble que si elles ont la même taille. Les quarts et les sixièmes doivent d’abord être recoupés en douzièmes ; ensuite, il suffit de compter les douzièmes.
À vous de jouer
Additionnez 2/3 + 3/4 sur papier avec le plus petit dénominateur commun, puis saisissez la même somme dans la calculatrice de fractions et comparez ses étapes aux vôtres.
Résultat attendu
Le dénominateur commun 12, les fractions 8/12 et 9/12, la somme 17/12 et le nombre mixte 1 5/12.
Vérifiez votre réponse: Combien vaut 3/10 + 1/6 sous forme irréductible ?
7/15. Le PPCM de 10 et 6 est 30, donc 3/10 = 9/30 et 1/6 = 5/30. Ensuite 9/30 + 5/30 = 14/30, et en divisant les deux termes par le PGCD, 2, on obtient 7/15.
Questions et réponses
Faut-il additionner les dénominateurs ?
Non. Le dénominateur indique la taille des parts : une fois les fractions au même dénominateur, il ne change plus et seuls les numérateurs s’additionnent. En additionnant les dénominateurs, 1/2 + 1/2 donnerait 2/4, une moitié au lieu d’une unité.
Doit-on toujours prendre le plus petit dénominateur commun ?
Non, n’importe quel dénominateur commun convient, par exemple le produit des deux dénominateurs. Le plus petit garde des nombres modestes et, quel que soit votre choix, le résultat simplifié est le même.
Même dénominateur : on additionne les numérateurs. Dénominateurs différents : on cherche le PPCM, on réduit, on additionne, puis on simplifie par le PGCD. Faites quelques additions sur papier et vérifiez chacune dans la calculatrice de fractions gratuite de VITON13 SCHOOL, qui détaille toutes les étapes.
Sources et lectures
- Wikipedia: Fraction (arithmetic with fractions) ↗Sources consultées:
- Wikipedia: Lowest common denominator ↗Sources consultées:
- Wikipedia: Euclidean algorithm ↗Sources consultées: