Valor posicional y cero: cómo funcionan los números

Muescas que cuentan

Imagina en tu mano un trozo de hueso con filas ordenadas de rayitas. El hueso de Ishango, hallado en 1950 en lo que hoy es la República Democrática del Congo, tiene unos 20.000 años. Sus muescas forman grupos, y muchos especialistas creen que servían para contar o llevar un registro, aunque nadie puede estar seguro de qué significaban. La idea es sencilla: una marca por cada cosa. Eso es un recuento. Cinco cabras son cinco rayas, y doce cabras son dos veces cinco y dos más. El recuento es honrado, pero crece muy largo y muy deprisa. Imagina escribir 2026 marcas.

Sumar símbolos

Después llegaron los signos para grupos mayores. La escritura egipcia de hacia el 3000 a. C. usaba una raya para el 1, un hueso del talón para el 10 y una soga enrollada para el 100. El número 241 eran dos sogas, cuatro talones y una raya: 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1. Los números romanos siguen el mismo plan con I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1000. Así, MMXXVI es 1000 + 1000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2026. Un signo pequeño delante de uno mayor se resta: IV es 5 − 1 = 4. Sumar es fácil, pero multiplicar MMXXVI por XIV da dolor de cabeza.

El lugar de cada cifra

Esta es la gran idea de nuestra escritura: el lugar de una cifra decide su valor. En 3333 la cifra 3 aparece cuatro veces, pero vale 3000, 300, 30 y 3. Cada paso a la izquierda multiplica el valor por diez, y por eso se llama base diez. Piensa en el cuentakilómetros de un coche. Cuando 0999 avanza, la última rueda pasa del 9, vuelve a 0 y empuja a su vecina, que empuja a la siguiente, hasta que aparece 1000. Mira girar las ruedas en el dibujo. En símbolos, 2026 = 2 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 6 × 1.

Prueba las columnas tú mismo

Abre ahora el laboratorio bajo la imagen. Desliza el número entre 0 y 9999 y mira cómo se iluminan las columnas. Cada columna pertenece a una potencia de diez: unidades, decenas, centenas, millares. Elige 4071. La columna de los millares tiene un 4, la de las centenas un 0, la de las decenas un 7 y la de las unidades un 1, así que el 7 vale 70, no 7. Esa columna vacía de las centenas importa. Sin un signo para «aquí no hay nada», 4071 se encogería a 471. Este es el primer trabajo del cero: mantener las demás cifras en su sitio.

El cero se convierte en número

Los escribas babilonios usaban una marca para un lugar vacío, pero tratar el cero como un número con el que se calcula llegó más tarde. En el año 628 d. C. el matemático indio Brahmagupta escribió sus reglas: un número más cero queda igual, un número menos sí mismo es cero y un número por cero es cero. La división entre cero no logró domarla y, en la matemática actual, simplemente no se permite. Las cifras indoarábigas del 0 al 9 viajaron al oeste de la mano de sabios árabes. En 1202 Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, las explicó en su Liber Abaci, y poco a poco los comerciantes europeos dejaron los números romanos para hacer cuentas.

Binario: solo dos cifras

El diez no es sagrado. Cualquier número puede ser la base. El interruptor de un ordenador está apagado o encendido, así que los ordenadores cuentan en base dos, el binario, con solo las cifras 0 y 1. Ahora las columnas valen 1, 2, 4, 8, 16 y así sucesivamente, duplicándose en cada paso. Toma 1101. Significa 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 13. Ocho de esos interruptores, llamados bits, forman un byte, que guarda 2⁸ = 256 valores distintos, del 0 al 255. La base dieciséis es un atajo práctico: sus cifras van del 0 al 9 y luego de la A a la F, donde F vale 15. Pon el selector de base del laboratorio en 2 y comprueba el 13.

Sesenta en Babilonia

Hacia el 2000 a. C. los babilonios escribían los números en base sesenta. El sesenta se divide exactamente entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, así que las mitades, los tercios y los cuartos salían enteros. Aún conservamos su costumbre: una hora tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Toma 3725 segundos. Divide entre 3600 y sale 1 hora, con 125 segundos de sobra, que son 2 minutos y 5 segundos. Así, 3725 s son 1 h 2 min 5 s, que en base sesenta se escribe 1 : 2 : 5. Los 360 grados de un círculo probablemente tienen que ver con la misma costumbre, aunque los historiadores no están seguros.

Números y valor posicional