Позиционная запись и ноль: как устроены числа, с анимацией

Зарубки, которые считают

Представьте кусок кости в руке, исцарапанный аккуратными рядами коротких чёрточек. Кость из Ишанго, найденная в 1950 году на территории нынешней Демократической Республики Конго, имеет возраст около 20 000 лет. Её зарубки собраны в группы, и многие учёные думают, что это был способ счёта или запись, хотя никто не может быть уверен, что означали эти метки. Идея проста: одна метка на одну вещь. Это и есть счёт зарубками. Пять коз — пять чёрточек, а двенадцать коз — две пятёрки и ещё две. Такая запись честна, но очень быстро становится длинной. Попробуйте представить 2 026 чёрточек.

Знаки складываются

Потом появились знаки для крупных групп. В египетской письменности примерно с 3000 года до н. э. единицу писали чёрточкой, десять — дужкой, а сотню — свёрнутой верёвкой. Число 241 записывали как две верёвки, четыре дужки и одну чёрточку: 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1. Римские цифры устроены так же: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Значит, MMXXVI — это 1000 + 1000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2026. Маленький знак перед большим вычитается: IV — это 5 − 1 = 4. Складывать легко, а вот умножить MMXXVI на XIV — настоящая мука.

Где стоит цифра

Вот главная идея нашей записи: место цифры определяет её вес. В числе 3 333 цифра 3 встречается четыре раза, но обозначает 3000, 300, 30 и 3. Каждый шаг влево делает вес в десять раз больше, поэтому систему называют десятичной. Вспомните одометр в автомобиле. Когда 0999 прокручивается дальше, последнее колёсико проходит 9, падает в 0 и подталкивает соседнее, а то — следующее, пока не появится 1000. Смотрите, как поворачиваются колёсика на рисунке. В символах: 2026 = 2 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 6 × 1.

Попробуйте разряды сами

Теперь откройте песочницу под рисунком. Двигайте число от 0 до 9999 и смотрите, как загораются столбцы. Каждый столбец отвечает за степень десяти: единицы, десятки, сотни, тысячи. Выберите 4 071. В столбце тысяч стоит 4, в столбце сотен 0, в столбце десятков 7 и в столбце единиц 1, так что семёрка здесь стоит 70, а не 7. Пустой столбец сотен важен. Без знака «здесь ничего нет» число 4 071 съёжилось бы до 471. Это первая работа нуля: держать остальные цифры на их местах.

Ноль становится числом

Вавилонские писцы ставили особый знак на пустом месте, но считать с нулём как с числом стали позже. В 628 году н. э. индийский математик Брахмагупта записал правила для него: число плюс ноль не меняется, число минус само себя даёт ноль, число, умноженное на ноль, равно нулю. С делением на ноль он справиться не смог, а в современной математике оно просто запрещено. Индо-арабские цифры от 0 до 9 пришли на запад через учёных арабского мира. В 1202 году Леонардо Пизанский, прозванный Фибоначчи, объяснил их в «Книге абака», и европейские торговцы постепенно отказались от римских цифр при счёте.

Двоичная: только две цифры

Десять — не священное число. Основанием может быть любое число. Переключатель в компьютере либо выключен, либо включён, поэтому компьютеры считают в системе по основанию два — двоичной — и используют только цифры 0 и 1. Разряды теперь стоят 1, 2, 4, 8, 16 и так далее, удваиваясь на каждом шаге. Возьмите 1101. Это 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 13. Восемь таких переключателей, называемых битами, образуют байт, который хранит 2⁸ = 256 разных значений, от 0 до 255. Удобное сокращение — система по основанию шестнадцать: её цифры идут от 0 до 9, затем от A до F, где F означает 15. Выберите в песочнице основание 2 и проверьте число 13.

Шестьдесят в Вавилоне

Вавилоняне около 2000 года до н. э. записывали числа по основанию шестьдесят. Шестьдесят хорошо делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30, поэтому половины, трети и четверти получались целыми. Мы до сих пор храним их привычку: в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Возьмите 3725 секунд. Разделите на 3600: получится 1 час и остаток 125 секунд, то есть 2 минуты и 5 секунд. Значит, 3725 с — это 1 ч 2 мин 5 с, в шестидесятеричной записи 1 : 2 : 5. Видимо, с той же привычкой связаны и 360 градусов круга, хотя историки не уверены.

Числа и позиционная запись