Дроби, пропорции и проценты: объяснение с анимацией

Равные части целого

Возьмите плитку шоколада и разломите её на четыре куска строго одного размера. Один кусок — это одна четвёртая, пишется 1/4. Нижнее число, знаменатель, говорит, на сколько равных частей разделено целое. Верхнее число, числитель, говорит, сколько из них вы взяли. Части обязаны быть равными, иначе дробь ничего не значит. Съешьте 3 кусочка из 8 у пиццы — и вы съели 3/8. На рисунке целая плитка разрезается, и одна часть загорается. Дроби появились очень давно: папирус Райнда, переписанный в Египте около 1550 года до н. э., записывает большинство дробей как суммы долей с единицей в числителе.

Одно количество, много имён

Разрежьте ту же плитку на 2, 4 или 8 частей и посмотрите, как совпадут полоски. Половина по длине равна двум четвертям и четырём восьмым: 1/2 = 2/4 = 4/8. Такие дроби называют равными. Правило простое: умножьте числитель и знаменатель на одно и то же число — значение не изменится. Если 1/2 умножить на 2, получится 2/4, а на 4 — 4/8. Почему так? Потому что 2/2 и 4/4 равны единице, а умножение на единицу ничего не меняет. На картинке края полосок встречаются в одном и том же месте.

Как сократить дробь

Прочитайте правило задом наперёд — и вы научитесь сокращать. Разделите числитель и знаменатель на одно число. Возьмите 6/8. И 6, и 8 делятся на 2, поэтому 6/8 = 3/4. Дальше сокращать нельзя, потому что у 3 и 4 нет общего делителя, кроме 1, и дробь несократима. Ещё случай: 18/24. Самое большое число, на которое делятся оба, — 6, поэтому 18/24 тоже равно 3/4. Заметьте: 6/8 и 18/24 — одно и то же количество, три четверти плитки. Попробуйте в песочнице под рисунком: выберите числитель и знаменатель, и полоска, круг, десятичная дробь и проценты обновятся вместе.

Сложение с общим знаменателем

Можно ли сложить 1/2 и 1/3, сложив числители и знаменатели? Нет: получится 2/5, а это меньше самой 1/2, так что ответ точно неверен. Кусочки разного размера нельзя считать вместе. Сначала нужно разрезать обе дроби на куски одного размера. Наименьший общий размер для половин и третей — шестые: 1/2 = 3/6 и 1/3 = 2/6. Теперь куски совпадают, значит, числители складываем, а знаменатель оставляем: 3/6 + 2/6 = 5/6. Вычитание работает так же: 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12. Проверка десятичными дробями: 0,75 − 0,1667 примерно равно 0,5833, и 7/12 тоже около 0,5833.

Отношение и пропорция

Отношение сравнивает два количества. В рецепте блинчиков на 2 яйца берут 3 стакана муки, записывается как 2 : 3. Чтобы накормить больше гостей, умножьте оба числа на один и тот же множитель. Умножив на 4, получим 8 яиц и 12 стаканов, и пропорция 2/3 = 8/12 остаётся верной. Быстрая проверка — перемножить крест-накрест: 2 × 12 = 24 и 3 × 8 = 24. Отношения превращаются в дроби, когда смотришь на целое. В смеси из 2 частей синей краски и 3 частей белой всего 5 частей, значит, синей — 2/5. В 10 литрах это 4 литра синей и 6 литров белой.

Процент — это «на сто»

Слово «процент» происходит от латинского выражения «на сотню». Представьте квадратную сетку 10 на 10 клеток, всего 100 клеток. Если закрашено 25 клеток, то закрашено 25 процентов сетки, пишется 25 %. Это же 25/100, что сокращается до 1/4, а в десятичной записи — 0,25. Дробь, десятичная дробь и процент — три способа записать одно количество. Чтобы превратить дробь в проценты, разделите числитель на знаменатель и умножьте на 100. Для 3/8: 3 ÷ 8 = 0,375, а 0,375 × 100 = 37,5 %. Двигайте ползунки в песочнице и читайте все три формы.

Процент от числа

Чтобы найти процент от числа, обратите процент в десятичную дробь и умножьте. Пятнадцать процентов от 60 — это 0,15 × 60 = 9. Магазин делает скидку 20 % на товар за 80. Скидка равна 0,20 × 80 = 16, значит, вы платите 80 − 16 = 64. Можно сразу взять оставшиеся 80 %: 0,80 × 80 = 64. Обе дороги приводят к одной цене. Частая ловушка — путать, от чего берётся процент. Увеличьте цену 100 на 10 %, потом уменьшите на 10 % — получится 110, затем 99, а не 100, потому что второй раз десять процентов берут от большего числа.

Дроби, отношения и проценты