Теорема Пифагора: a² + b² = c² с наглядным доказательством

Прямоугольный треугольник

У прямоугольного треугольника есть один угол ровно в 90°, как угол листа бумаги. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами и обозначают a и b. Длинная сторона напротив него — гипотенуза c, и она всегда самая длинная. По одному популярному рассказу, натягиватели верёвок в Древнем Египте получали прямой угол с помощью верёвки с двенадцатью равными промежутками между узлами, сложенной в треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 промежутков. Числа подходят, ведь 3 + 4 + 5 = 12. Но ни один египетский текст этого не описывает, так что считайте это легендой, а не фактом.

Квадраты на сторонах

Нарисуйте квадрат на каждой стороне треугольника 3-4-5. Квадрат на коротком катете имеет площадь 3 × 3 = 9, а на другом — 4 × 4 = 16. Квадрат на гипотенузе: 5 × 5 = 25. И 9 + 16 = 25. Это не случайность: так бывает в любом прямоугольном треугольнике. Словами: два малых квадрата вместе в точности равны по площади большому. Символами: a² + b² = c², где a и b — катеты, а c — гипотенуза. Это верно только тогда, когда угол прямой.

Как найти неизвестную сторону

Правило позволяет найти сторону, которую нельзя измерить. Пусть катеты a = 5 и b = 12. Тогда c² = 25 + 144 = 169, а c = √169 = 13. Двигайте ползунки в песочнице, и квадраты вырастут в масштабе рядом с треугольником. Многие пары дают целые числа, как 6-8-10 или 8-15-17, но чаще нет: при катетах 1 и 1 получается c = √2 ≈ 1,414. Чтобы найти катет, вычитайте. Если c = 10 и a = 6, то b² = 100 − 36 = 64 и b = 8. Всегда проверяйте, что c получилась самой длинной стороной.

Доказательство без алгебры

Вот одна из древнейших идей доказательства. Возьмите четыре одинаковых прямоугольных треугольника и разместите их внутри квадрата со стороной a + b. При одном расположении посередине остаётся наклонный квадрат со стороной c. При другом остаются два квадрата: со стороной a и со стороной b. Большой квадрат и четыре треугольника не меняются, значит, свободная площадь в обоих случаях одна: c² = a² + b². Проверим на 3 и 4. Большой квадрат имеет площадь 7 × 7 = 49, четыре треугольника занимают 4 × 6 = 24, остаётся 49 − 24 = 25, а это 9 + 16.

Старше Пифагора

Пифагор жил примерно в 570–495 годах до н. э. на греческом острове Самос, а позже в Южной Италии, и сам ничего не написал, поэтому его роль в теореме неясна. Гораздо старше табличка Плимптон 322 — глиняная табличка из Вавилона, сделанная около 1800 года до н. э. и ныне хранящаяся в Колумбийском университете в Нью-Йорке. В её строках стоят числа, образующие прямоугольные треугольники, например 119, 120 и 169, и действительно 119² + 120² = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 169². Учёные до сих пор спорят, для чего она служила. Правилом пользовались и тексты Индии и Китая.

Расстояние на карте

Допустим, вы прошли 3 км на восток, а потом 4 км на север. Как далеко вы от старта по прямой? Два перехода — катеты прямоугольного треугольника, поэтому расстояние равно √(3² + 4²) = √25 = 5 км. Карты и игры пользуются этим постоянно: расстояние между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). С телевизорами то же самое. Телевизор шириной 48 дюймов и высотой 27 дюймов имеет диагональ √(48² + 27²) = √3033 ≈ 55 дюймов, поэтому его и продают как 55-дюймовый.

Выходим в три измерения

Примените теорему дважды — и вы пересечёте коробку. Пусть коробка шириной 3, глубиной 4 и высотой 12. Диагональ её дна равна √(3² + 4²) = 5. Теперь возьмите эту линию и высоту 12 как катеты нового прямоугольного треугольника: длинная диагональ через середину коробки равна √(5² + 12²) = √169 = 13. Одной формулой: d = √(a² + b² + c²) для рёбер a, b и c, и действительно √(9 + 16 + 144) = 13. Так находят самую длинную палку, которая помещается в коробке. На рисунке каркасная коробка медленно поворачивается, и её диагональ загорается.

Пифагор и прямоугольный треугольник