Число пи: длина окружности, площадь круга и Архимед

Одно число для любой окружности

Измерьте край круглого стола, а потом его ширину через центр. Разделите первое число на второе. То же самое сделайте с монетой, тарелкой и автомобильной шиной — и всякий раз получится около 3,14. Край — это длина окружности C, ширина — диаметр d, а отношение C / d одинаково для любой окружности на свете. Его называют π, по греческой букве «пи», и π ≈ 3,14159. Значит, C = π × d. У стола шириной 1,2 м край равен 1,2 × 3,14159 ≈ 3,77 м. Для этого числа букву впервые применил Уильям Джонс в 1706 году, а прославил Эйлер.

Колесо, которое катится

Представьте колесо ровно с диаметром 1 и точкой, нарисованной на ободе. Прокатите его по прямой на один полный оборот. Колесо проедет путь, равный длине своей окружности, то есть π × 1, около 3,14159. На рисунке рядом с колесом разворачивается линия: три целых ширины колеса и ещё немного, точнее 0,14159. Этот остаток никогда не вмещает целое число раз. Велосипедное колесо работает так же. При диаметре 0,7 м десять оборотов дадут 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 22 м.

Архимед ловит число пи

Измерить π точно рулеткой нельзя. Около 250 года до н. э. Архимед из Сиракуз придумал, как его поймать. Нарисуйте многоугольник чуть внутри круга и ещё один чуть снаружи. Длина окружности больше периметра внутреннего многоугольника и меньше периметра внешнего. У шестиугольника границы грубые. Но продолжайте удваивать стороны: 6, 12, 24, 48 и наконец 96 — и два многоугольника сжимаются всё ближе. Для круга диаметром 1 периметры 96-угольников равны примерно 3,1410 внутри и 3,1427 снаружи.

Знаменитые границы

По своим 96-угольникам Архимед доказал, что 3 10/71 < π < 3 1/7. В десятичной записи это 3,14085 < π < 3,14286, и истинное значение 3,14159 спокойно лежит между ними. Знаменитая дробь 22/7 — всего лишь верхняя граница, и она верна до двух знаков после запятой. Десятичных дробей у Архимеда не было: он работал с обыкновенными дробями и вручную оценивал квадратные корни. В песочнице меняйте число сторон от 3 до 96 и смотрите, как внутренняя и внешняя границы сжимаются к окружности. Более точную дробь 355/113 ≈ 3,1415929 нашёл китайский математик Цзу Чунчжи в V веке.

Площадь круга

Какова площадь внутри круга? Разрежьте его, как пиццу, на множество тонких долек и разложите рядом: одна остриём вверх, следующая вниз. Получится нечто вроде неровного прямоугольника, и чем больше долек, тем он ровнее. Его длинная сторона — половина длины окружности, π × r, а высота — радиус r. Значит, площадь равна π × r × r, то есть A = π r². Для пиццы радиусом 15 см A = π × 225 ≈ 707 см². Неожиданность: одна пицца в 30 см поперёк даёт около 707 см², а две пиццы в 20 см поперёк — только 2 × 314 = 628 см². Попробуйте другие радиусы в песочнице.

Число без конца

Дробь ли π? Нет. В 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что π иррационально: никакая дробь, сколь бы большие числа в ней ни стояли, ему не равна. Поэтому его десятичная запись не кончается и никогда не переходит в повторяющийся узор. В 1882 году Фердинанд фон Линдеман пошёл дальше и показал, что π трансцендентно, а значит, невозможна и древняя задача: построить циркулем и линейкой квадрат той же площади, что у данного круга. Цифры начинаются так: 3,14159265358979323846. Для настоящей работы их нужно мало: Лаборатория реактивного движения НАСА берёт пятнадцать знаков, 3,141592653589793, чтобы направлять аппараты по Солнечной системе.

Цифры триллионами

Зачем же люди продолжают вычислять π? Отчасти чтобы проверять компьютеры и программы, отчасти из любви к делу. В 1706 году Джон Мэчин вручную получил 100 цифр с помощью хитрой формулы. Компьютер ENIAC выдал 2 037 цифр в 1949 году, а в 2022 году команда на мощностях Google Cloud вычислила 100 триллионов. Но сколько бы цифр ни получилось, первая идея этой главы остаётся: у любой окружности C / d равно π. А поскольку цифры не повторяются, записать π целиком вам не удастся никогда.

Число пи и окружность