Алгебра с нуля: уравнения как чашечные весы, с анимацией

Уравнение — это весы

Посмотрите на старые весы с двумя чашами. Если на обеих лежит одинаковый вес, коромысло стоит ровно. Уравнение — это такие весы, записанные символами, а знак равенства — их середина. Положите на левую чашу ящик со спрятанным весом x и ещё 3 единицы, а на правую — 7 единиц: x + 3 = 7. Весы в равновесии, значит, спрятанный вес можно найти. Знак = в 1557 году ввёл валлийский математик Роберт Рекорд, выбрав две параллельные линии, потому что, как он объяснял, ничто не может быть более похожим. Держите в голове картину: каждое уравнение — ровное коромысло.

То же самое с обеими чашами

Как найти x, не нарушив равновесия? Что бы вы ни сделали с одной чашей, делайте точно то же с другой. Снимите 3 с левой чаши — коромысло наклонится, пока вы не снимете 3 и с правой. После обоих снятий ящик x один уравновешивает 7 − 3 = 4 единицы. Значит, x = 4. Проверьте, вернув 4 в уравнение: 4 + 3 = 7, и весы снова в равновесии. То же правило верно и для других действий: можно прибавить одно и то же число к обеим сторонам, умножить обе на одно число или разделить обе на одно и то же число, не равное нулю.

Попробуйте свои весы

Откройте песочницу под рисунком. Она строит уравнение вида a·x + b = c тремя ползунками: a от 1 до 5, b от 0 до 10 и c. Весы наклонены, пока вы не решите уравнение, а потом выравниваются. Ответ — x = (c − b) / a, поэтому при a = 3, b = 4 и c = 19 получится x = (19 − 4) / 3 = 5, а проверка 3 × 5 + 4 = 19 сходится. Если c − b не делится нацело, ответ — дробь. При a = 2, b = 1 и c = 6 имеем x = 5/2 = 2,5. Спрятанный вес может быть частью единицы.

Два шага на весах

Теперь на левой чаше два ящика и одна лишняя единица: 2x + 1 = 9. Работайте по порядку, отменяя сначала последнее действие. Снимите 1 с обеих чаш: 2x = 8. Два ящика весят 8, поэтому разделите обе чаши пополам: x = 4. Проверка: 2 × 4 + 1 = 9. Вот другое уравнение: 3x + 5 = 20. Вычтите 5 из обеих сторон, получится 3x = 15, потом разделите на 3 и получите x = 5, а проверка 3 × 5 + 5 = 20 сходится. План всякий раз один: сначала уберите то, что прибавлено, потом отмените множитель.

Аль-Хорезми и аль-джабр

Около 820 года н. э. в Доме мудрости в Багдаде учёный Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми написал книгу о решении уравнений. В её названии было слово «аль-джабр», что значит «восстановление» или «дополнение»: перенос вычитаемой величины на другую сторону, где она становится прибавляемой. В уравнении x − 3 = 5 нужно восстановить, прибавив 3 к обеим сторонам, и x = 8. В латыни это слово превратилось в «алгебру». А его собственное имя, латинизированное как Algoritmi, дало нам слово «алгоритм», потому что латинская книга о его индийских цифрах учила пошаговым правилам счёта. Правила он писал словами; буквы вроде x появились намного позже.

Два неизвестных, двое весов

Что если спрятанных весов два? Тогда нужны двое весов. Пусть x + y = 10 и x − y = 2. Поставьте весы рядом и сложите их: y на одних сокращается с y на других. Остаётся 2x = 12, значит, x = 6. Теперь возьмите первые весы: 6 + y = 10, поэтому y = 4. Проверим вторые: 6 − 4 = 2. Оба уравновешены. Этот приём — складывать или вычитать уравнения целиком, чтобы сократить одно неизвестное, — называется исключением. Словами: два числа в сумме дают 10, а различаются на 2. Это 6 и 4.

Другой способ: подстановка

Второй способ — заменить одно неизвестное чем-то известным. Кинотеатр продал 100 билетов на общую сумму 1000. Взрослый билет стоит 12, детский — 8. Пусть a — взрослые, c — дети. Тогда a + c = 100 и 12a + 8c = 1000. Из первого уравнения c = 100 − a. Подставьте во второе: 12a + 8(100 − a) = 1000, то есть 4a + 800 = 1000, и a = 50. Тогда и c = 50. Проверка: 50 × 12 + 50 × 8 = 600 + 400 = 1000. Одно уравнение с одним неизвестным — это весы, которые вы уже умеете уравновешивать.

Алгебра: уравнение как весы