Algèbre pour débutants : l’équation comme une balance

L’équation est une balance

Regardez une vieille balance à deux plateaux. Si les deux côtés portent le même poids, le fléau reste horizontal. Une équation est cette balance écrite en symboles, et le signe égal en est le milieu. Posez une boîte contenant un poids caché x sur le plateau de gauche, ajoutez 3 unités, et mettez 7 unités sur le plateau de droite : x + 3 = 7. La balance est en équilibre, on sait donc que le poids caché peut être trouvé. Le signe = a été introduit en 1557 par le mathématicien gallois Robert Recorde, qui a choisi deux lignes parallèles parce que, expliquait-il, rien ne pouvait être plus semblable. Gardez l’image en tête : chaque équation est un fléau horizontal.

La même chose des deux côtés

Comment trouver x sans rompre l’équilibre ? Tout ce que vous faites sur un plateau, faites-le exactement de la même façon sur l’autre. Retirez 3 du plateau de gauche et le fléau penche, sauf si vous retirez aussi 3 à droite. Après les deux retraits, la boîte x seule équilibre 7 − 3 = 4 unités. Donc x = 4. Vérifiez en remettant 4 dans l’équation : 4 + 3 = 7, et la balance est de nouveau en équilibre. La même règle vaut pour d’autres opérations : on peut ajouter le même nombre des deux côtés, multiplier les deux côtés par le même nombre, ou les diviser par le même nombre non nul.

Essayez votre propre balance

Ouvrez le bac à sable sous le dessin. Il construit une équation de la forme a·x + b = c avec trois curseurs : a de 1 à 5, b de 0 à 10, et c. La balance penche jusqu’à ce que vous la résolviez, puis elle se met à l’horizontale. La réponse est x = (c − b) / a, donc avec a = 3, b = 4 et c = 19, on obtient x = (19 − 4) / 3 = 5, et la vérification 3 × 5 + 4 = 19 est bonne. Si c − b ne se divise pas exactement, la réponse est une fraction. Avec a = 2, b = 1 et c = 6, x = 5/2 = 2,5. Un poids caché peut être une partie d’unité.

Deux étapes sur la balance

Maintenant, le plateau de gauche porte deux boîtes et une unité de plus : 2x + 1 = 9. Travaillez dans l’ordre, en défaisant d’abord la dernière opération. Retirez 1 des deux plateaux : 2x = 8. Deux boîtes pèsent 8, alors divisez les deux plateaux par deux : x = 4. Vérification : 2 × 4 + 1 = 9. En voici une autre : 3x + 5 = 20. Soustrayez 5 des deux côtés pour obtenir 3x = 15, puis divisez par 3 pour obtenir x = 5, et la vérification 3 × 5 + 5 = 20 est bonne. Le plan est toujours le même : on retire d’abord ce qui a été ajouté, puis on défait le multiplicateur.

Al-Khwârizmî et al-jabr

Vers 820 apr. J.-C., dans la Maison de la sagesse de Bagdad, le savant Muhammad ibn Musa al-Khwârizmî a écrit un livre sur la résolution des équations. Son titre contenait le mot al-jabr, qui veut dire restaurer ou compléter : déplacer une quantité retranchée de l’autre côté, où elle devient ajoutée. Pour x − 3 = 5, on restaure en ajoutant 3 des deux côtés, et x = 8. Le latin a transformé le mot en « algèbre ». Son propre nom, latinisé en Algoritmi, nous a donné « algorithme », car un livre latin sur ses chiffres indiens enseignait des règles de calcul pas à pas. Il écrivait ses règles avec des mots ; les lettres comme x sont venues bien plus tard.

Deux inconnues, deux balances

Et s’il y a deux poids cachés ? Il faut alors deux balances. Supposons x + y = 10 et x − y = 2. Mettez les balances côte à côte et additionnez-les : le y de l’une annule le y de l’autre. Il reste 2x = 12, donc x = 6. Utilisez maintenant la première balance : 6 + y = 10, donc y = 4. Vérifiez la seconde : 6 − 4 = 2. Les deux sont en équilibre. Cette astuce, qui consiste à additionner ou soustraire des équations entières pour éliminer une inconnue, s’appelle l’élimination. En mots : deux nombres ont pour somme 10 et pour écart 2. Ce sont 6 et 4.

Autre méthode : la substitution

Une seconde méthode consiste à remplacer une inconnue par quelque chose que l’on connaît. Un cinéma a vendu 100 billets pour 1000 euros au total. Les billets adultes coûtent 12 euros et les billets enfants 8 euros. Notons a le nombre d’adultes et c celui d’enfants. Alors a + c = 100 et 12a + 8c = 1000. D’après la première, c = 100 − a. Reportez cela dans la seconde : 12a + 8(100 − a) = 1000, donc 4a + 800 = 1000, et a = 50. Alors c = 50 aussi. Vérification : 50 × 12 + 50 × 8 = 600 + 400 = 1000. Une équation à une inconnue est une balance que vous savez déjà équilibrer.

Algèbre : l’équation comme une balance