Le nombre pi : circonférence, aire et Archimède

Le même nombre dans tous les cercles

Mesurez le tour d’une table ronde, puis sa largeur en passant par le milieu. Divisez le premier nombre par le second. Faites de même avec une pièce, une assiette et un pneu, et vous trouvez toujours environ 3,14. Le tour est la circonférence C, la largeur est le diamètre d, et le rapport C / d est le même pour tous les cercles qui existent. On l’appelle π, la lettre grecque pi, et π ≈ 3,14159. Donc C = π × d. Une table de 1,2 m de large a un tour de 1,2 × 3,14159 ≈ 3,77 m. La lettre a été employée pour la première fois pour ce nombre par William Jones en 1706, puis rendue célèbre par Euler.

Une roue qui roule

Imaginez une roue d’un diamètre d’exactement 1, avec un point peint sur la jante. Faites-la rouler sur une ligne droite pendant un tour complet. La roue parcourt une distance égale à sa circonférence, soit π × 1, environ 3,14159. Dans le dessin, la ligne se déroule à côté de la roue : trois largeurs entières de roue et un petit peu plus, 0,14159 pour être exact. Ce reste n’entre jamais un nombre entier de fois. Une roue de vélo fonctionne de la même façon. Avec un diamètre de 0,7 m, dix tours vous font avancer de 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 22 m.

Archimède encadre pi

Personne ne peut mesurer π exactement avec un mètre ruban. Vers 250 av. J.-C., Archimède de Syracuse a trouvé une astuce pour l’encadrer. Dessinez un polygone juste à l’intérieur du cercle et un autre juste à l’extérieur. Le tour du cercle est plus long que le périmètre du polygone intérieur et plus court que celui du polygone extérieur. Avec un hexagone, l’encadrement est grossier. Mais si on double sans cesse le nombre de côtés, 6, 12, 24, 48 puis 96, les deux polygones se resserrent. Pour un cercle de diamètre 1, les polygones à 96 côtés ont des périmètres d’environ 3,1410 à l’intérieur et 3,1427 à l’extérieur.

Le fameux encadrement

À partir de ses polygones à 96 côtés, Archimède a prouvé que 3 10/71 < π < 3 1/7. En décimales, cela donne 3,14085 < π < 3,14286, et la vraie valeur, 3,14159, s’y loge confortablement. La célèbre fraction 22/7 n’est que la borne supérieure, et elle est juste à deux décimales près. Archimède n’avait pas de nombres décimaux : il travaillait avec des fractions et avec des racines carrées qu’il encadrait à la main. Dans le bac à sable, faites glisser le nombre de côtés de 3 à 96 et regardez les bornes intérieure et extérieure se refermer sur le cercle. Une meilleure fraction, 355/113 ≈ 3,1415929, a été trouvée au Ve siècle par le mathématicien chinois Zu Chongzhi.

L’aire d’un cercle

Quelle est la taille de l’intérieur d’un cercle ? Découpez-le comme une pizza en de nombreuses parts fines, puis posez-les côte à côte, l’une pointe en haut et la suivante pointe en bas. On obtient une sorte de rectangle bosselé, d’autant plus droit qu’il y a de parts. Son grand côté est la moitié de la circonférence, π × r, et sa hauteur est le rayon r. L’aire est donc π × r × r, notée A = π r². Pour une pizza de rayon 15 cm, A = π × 225 ≈ 707 cm². Surprise : une pizza de 30 cm de diamètre donne environ 707 cm², alors que deux pizzas de 20 cm de diamètre n’en donnent que 2 × 314 = 628 cm². Essayez d’autres rayons dans le bac à sable.

Un nombre sans fin

π est-il une fraction ? Non. En 1761, Johann Lambert a prouvé que π est irrationnel : aucune fraction, même avec de très grands nombres, ne lui est égale. Ses décimales ne finissent donc jamais et ne retombent jamais sur un motif qui se répète. En 1882, Ferdinand von Lindemann est allé plus loin en montrant que π est transcendant, ce qui a aussi prouvé qu’un vieux problème, construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné, est impossible. Les chiffres commencent par 3,14159265358979323846. Pour un vrai travail, il en faut peu : le Jet Propulsion Laboratory de la NASA emploie quinze décimales, 3,141592653589793, pour guider les sondes dans le Système solaire.

Des milliers de milliards de chiffres

Pourquoi continue-t-on alors à calculer π ? En partie pour tester des ordinateurs et des programmes, en partie par plaisir. En 1706, John Machin a atteint 100 décimales à la main, grâce à une formule astucieuse. L’ordinateur ENIAC a produit 2 037 chiffres en 1949, et en 2022 une équipe utilisant Google Cloud en a calculé 100 000 milliards. Pourtant, aucune quantité de chiffres ne change la première idée de ce chapitre : pour tout cercle, C / d vaut π. Et comme les chiffres ne se répètent jamais, on ne pourra jamais écrire π en entier.

Pi et le cercle