Théorème de Pythagore : démonstration animée

Le triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle d’exactement 90°, comme le coin d’une feuille de papier. Les deux côtés qui forment l’angle droit sont les côtés de l’angle droit, notés a et b. Le long côté qui leur fait face est l’hypoténuse, c, et c’est toujours le plus long côté. Une histoire populaire raconte que les tendeurs de corde de l’Égypte ancienne traçaient un angle droit avec une corde divisée par des nœuds en douze pas égaux, pliée en triangle de côtés 3, 4 et 5 pas. Les nombres collent, puisque 3 + 4 + 5 = 12. Mais aucun texte égyptien ne décrit cela : voyez-y une légende plutôt qu’un fait.

Des carrés sur les côtés

Dessinez un carré sur chaque côté du triangle 3-4-5. Le carré sur le petit côté de l’angle droit a pour aire 3 × 3 = 9, celui sur l’autre côté 4 × 4 = 16. Le carré sur l’hypoténuse a pour aire 5 × 5 = 25. Et 9 + 16 = 25. Ce n’est pas un hasard : cela marche pour tous les triangles rectangles. En mots, les deux petits carrés réunis ont exactement l’aire du grand carré. En symboles, a² + b² = c², où a et b sont les côtés de l’angle droit et c l’hypoténuse. Cela n’est vrai que si l’angle est droit.

Trouver un côté manquant

La règle permet de trouver un côté qu’on ne peut pas mesurer. Prenez a = 5 et b = 12. Alors c² = 25 + 144 = 169, et c = √169 = 13. Faites glisser les curseurs du bac à sable : les carrés grandissent à l’échelle à côté du triangle. De nombreux choix donnent des nombres entiers, comme 6-8-10 ou 8-15-17, mais la plupart non : avec des côtés 1 et 1, c = √2 ≈ 1,414. Pour trouver un côté de l’angle droit, on soustrait. Si c = 10 et a = 6, alors b² = 100 − 36 = 64 et b = 8. Chaque fois que vous le pouvez, vérifiez que c est bien le plus long côté.

Une preuve sans algèbre

Voici l’une des plus anciennes idées pour le prouver. Prenez quatre triangles rectangles identiques et placez-les dans un carré de côté a + b. Disposés d’une certaine façon, ils laissent au milieu un carré penché de côté c. Disposés autrement, ils laissent deux carrés, l’un de côté a et l’autre de côté b. Le grand carré et les quatre triangles ne changent jamais : l’aire vide doit donc être la même dans les deux cas, c’est-à-dire c² = a² + b². Vérifiez avec 3 et 4. Le grand carré a pour aire 7 × 7 = 49, les quatre triangles occupent 4 × 6 = 24, et il reste 49 − 24 = 25, soit 9 + 16.

Plus ancien que Pythagore

Pythagore a vécu vers 570 à 495 av. J.-C., sur l’île grecque de Samos puis dans le sud de l’Italie, et il n’a laissé aucun écrit, si bien que son rôle dans le théorème reste incertain. Bien plus ancienne est Plimpton 322, une tablette d’argile de Babylone datant d’environ 1800 av. J.-C. et conservée aujourd’hui à l’université Columbia, à New York. Ses lignes contiennent des nombres qui appartiennent à des triangles rectangles, comme 119, 120 et 169, et en effet 119² + 120² = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 169². Les spécialistes discutent encore de l’usage de cette tablette. Des textes venus d’Inde et de Chine emploient aussi la règle.

Distance sur une carte

Vous marchez 3 km vers l’est, puis 4 km vers le nord. À quelle distance en ligne droite êtes-vous du départ ? Les deux trajets forment les côtés d’un triangle rectangle, la distance est donc √(3² + 4²) = √25 = 5 km. Les cartes et les jeux s’en servent sans cesse : la distance entre les points (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) est √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Les téléviseurs obéissent à la même règle. Un téléviseur large de 48 pouces et haut de 27 pouces a une diagonale de √(48² + 27²) = √3033 ≈ 55 pouces, et c’est pourquoi on le vend comme un modèle de 55 pouces.

En trois dimensions

Employez le théorème deux fois et vous traversez une boîte. Prenez une boîte de 3 de large, 4 de profondeur et 12 de haut. La diagonale de son fond est √(3² + 4²) = 5. Prenez maintenant cette ligne et la hauteur 12 comme côtés d’un nouveau triangle rectangle : la grande diagonale qui traverse la boîte est √(5² + 12²) = √169 = 13. En une seule étape, d = √(a² + b² + c²) pour des arêtes a, b et c, et en effet √(9 + 16 + 144) = 13. Cela vous donne la plus longue tige qui tienne dans une boîte. Dans le dessin, la boîte en fil de fer tourne lentement et sa diagonale s’allume.

Pythagore et les triangles rectangles