Fractions, proportions et pourcentages en animation

Des parts égales d’un tout

Prenez une tablette de chocolat et cassez-la en quatre morceaux exactement de la même taille. Un morceau est un quart, noté 1/4. Le nombre du bas, le dénominateur, dit en combien de parts égales le tout est coupé. Le nombre du haut, le numérateur, dit combien vous en prenez. Les parts doivent être égales, sinon la fraction ne veut rien dire. Mangez 3 des 8 parts d’une pizza et vous avez mangé 3/8. Dans le dessin, une barre entière est coupée et une part s’allume. On utilise les fractions depuis très longtemps : le papyrus Rhind, copié en Égypte vers 1550 av. J.-C., écrit la plupart d’entre elles comme des sommes de parts ayant 1 au numérateur.

Une quantité, plusieurs noms

Coupez la même barre en 2, 4 ou 8 morceaux et regardez comment les barres s’alignent. Une moitié est exactement aussi longue que deux quarts et que quatre huitièmes : 1/2 = 2/4 = 4/8. Ce sont des fractions équivalentes. La règle est simple : multipliez le haut et le bas par le même nombre et la valeur ne change pas. À partir de 1/2, multiplier par 2 donne 2/4, et multiplier par 4 donne 4/8. Pourquoi cela marche-t-il ? Parce que 2/2 et 4/4 valent tous deux 1, et multiplier par 1 ne change rien. Sur l’image, les bords des barres tombent au même endroit.

Simplifier une fraction

Lisez la règle à l’envers et vous pouvez simplifier : divisez le numérateur et le dénominateur par un même diviseur. Prenez 6/8. Comme 6 et 8 sont divisibles par 2, 6/8 = 3/4. On ne peut pas aller plus loin, car 3 et 4 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : la fraction est sous sa forme la plus simple. Autre cas : 18/24. Le plus grand nombre qui divise les deux est 6, donc 18/24 = 3/4 aussi. Remarquez que 6/8 et 18/24 sont la même quantité, trois quarts de barre. Essayez dans le bac à sable sous l’image : choisissez un numérateur et un dénominateur, et la barre, le cercle, le nombre décimal et le pourcentage changent ensemble.

Additionner avec un dénominateur commun

Peut-on additionner 1/2 et 1/3 en additionnant les nombres du haut et ceux du bas ? Non : on obtiendrait 2/5, qui est plus petit que 1/2 tout seul, donc c’est faux. On ne peut pas compter ensemble des parts de tailles différentes. Il faut d’abord couper les deux en parts de même taille. La plus petite taille commune aux moitiés et aux tiers est le sixième : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6. Les parts sont maintenant identiques, on additionne donc les numérateurs et on garde le dénominateur : 3/6 + 2/6 = 5/6. La soustraction fonctionne de la même façon : 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12. Pour vérifier avec des décimaux, 0,75 − 0,1667 vaut environ 0,5833, et 7/12 vaut 0,5833.

Rapport et proportion

Un rapport compare deux quantités. Une recette de crêpes demande 2 œufs pour 3 verres de farine, noté 2 : 3. Pour nourrir plus de monde, multipliez les deux nombres par le même facteur. Fois 4, cela donne 8 œufs pour 12 verres, et la proportion 2/3 = 8/12 reste vraie. Une vérification rapide consiste à faire le produit en croix : 2 × 12 = 24 et 3 × 8 = 24. Les rapports deviennent des fractions quand on regarde le tout. Dans un mélange de 2 parts de peinture bleue pour 3 parts de blanche, il y a 5 parts en tout, donc le bleu représente 2/5 de la peinture. Dans 10 litres, cela fait 4 litres de bleu et 6 litres de blanc.

Pour cent, c’est « par cent »

Le mot pourcentage vient du latin per centum, « par cent ». Imaginez une grille carrée de 10 sur 10 petits carrés, soit 100 cases. Si 25 d’entre elles sont coloriées, alors 25 pour cent de la grille est coloriée, noté 25 %. C’est aussi 25/100, qui se simplifie en 1/4, et 0,25 en écriture décimale. Fractions, nombres décimaux et pourcentages sont trois façons d’écrire une même quantité. Pour transformer une fraction en pourcentage, divisez le haut par le bas et multipliez par 100. Pour 3/8 : 3 ÷ 8 = 0,375, et 0,375 × 100 = 37,5 %. Déplacez les curseurs du bac à sable et lisez les trois formes.

Pourcentage d’un nombre

Pour trouver un pourcentage d’un nombre, transformez le pourcentage en décimal et multipliez. Quinze pour cent de 60, c’est 0,15 × 60 = 9. Un magasin fait 20 % de réduction sur un article à 80 euros. La remise est de 0,20 × 80 = 16, vous payez donc 80 − 16 = 64. Vous pouvez aussi garder 80 % d’un seul coup : 0,80 × 80 = 64. Les deux chemins mènent au même prix. Un piège courant consiste à confondre ce sur quoi le pourcentage est pris. Augmentez un prix de 100 de 10 %, puis baissez-le de 10 %, et vous obtenez 110, puis 99, et non 100, car les seconds 10 % sont pris sur le nombre le plus grand.

Fractions, rapports et pourcentages