Numération de position et zéro : les nombres en animation

Des entailles qui comptent

Imaginez un morceau d’os dans votre main, gravé de petites lignes bien rangées. L’os d’Ishango, découvert en 1950 dans ce qui est aujourd’hui la République démocratique du Congo, a environ 20 000 ans. Ses entailles sont réunies en groupes, et beaucoup de spécialistes y voient une façon de compter ou de garder une trace, sans que personne puisse dire avec certitude ce que ces marques signifiaient. L’idée est simple : un trait par objet. C’est un décompte. Cinq chèvres font cinq traits, et douze chèvres font deux fois cinq traits et deux de plus. Un décompte est honnête, mais il devient vite très long. Imaginez qu’il faille tracer 2 026 traits.

Additionner des signes

Vinrent ensuite des signes pour les groupes plus grands. L’écriture égyptienne d’environ 3000 av. J.-C. employait un trait pour 1, un signe en os de talon pour 10 et une corde enroulée pour 100. Le nombre 241 s’écrivait donc avec deux cordes, quatre talons et un trait : 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1. Les chiffres romains suivent le même principe, avec I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 et M = 1000. Ainsi MMXXVI vaut 1000 + 1000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2026. Un petit signe placé avant un plus grand se retranche : IV vaut 5 − 1 = 4. Additionner est facile, mais multiplier MMXXVI par XIV est un casse-tête.

La place d’un chiffre

Voici la grande idée de notre écriture : la place d’un chiffre décide de sa valeur. Dans 3 333, le chiffre 3 apparaît quatre fois, mais il vaut 3000, 300, 30 et 3. Chaque pas vers la gauche rend la valeur dix fois plus grande, c’est pourquoi on parle de base dix. Pensez au compteur kilométrique d’une voiture. Quand 0999 avance, la dernière roue passe 9, retombe à 0 et pousse sa voisine, qui pousse la suivante, jusqu’à ce que 1000 apparaisse. Regardez tourner les roues dans le dessin. En symboles, 2026 = 2 × 1000 + 0 × 100 + 2 × 10 + 6 × 1.

Essayez les colonnes

Ouvrez maintenant le bac à sable sous le dessin. Faites glisser le nombre de 0 à 9999 et regardez les colonnes s’allumer. Chaque colonne correspond à une puissance de dix : unités, dizaines, centaines, milliers. Choisissez 4 071. La colonne des milliers contient 4, celle des centaines 0, celle des dizaines 7 et celle des unités 1 : le 7 vaut donc 70, et non 7. Cette colonne vide des centaines compte. Sans signe pour dire « rien ici », 4 071 rétrécirait en 471. C’est le premier rôle du zéro : garder les autres chiffres à leur juste place.

Le zéro devient un nombre

Les scribes babyloniens employaient une marque pour une place vide, mais faire du zéro un nombre avec lequel on calcule est venu plus tard. En 628 apr. J.-C., le mathématicien indien Brahmagupta en a écrit les règles : un nombre plus zéro reste le même, un nombre moins lui-même donne zéro, et un nombre multiplié par zéro donne zéro. La division par zéro, il n’a pas su la dompter, et en mathématiques modernes elle est tout simplement interdite. Les chiffres indo-arabes de 0 à 9 ont voyagé vers l’ouest grâce aux savants arabes. En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, les a expliqués dans son Liber Abaci, et peu à peu les marchands européens ont abandonné les chiffres romains pour leurs calculs.

Le binaire : deux chiffres seulement

Dix n’a rien de sacré. N’importe quel nombre peut servir de base. L’interrupteur d’un ordinateur est éteint ou allumé : les ordinateurs comptent donc en base deux, le binaire, avec les seuls chiffres 0 et 1. Les colonnes valent maintenant 1, 2, 4, 8, 16 et ainsi de suite, en doublant à chaque pas. Prenez 1101. Cela signifie 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 13. Huit interrupteurs de ce genre, appelés bits, forment un octet, qui peut prendre 2⁸ = 256 valeurs différentes, de 0 à 255. La base seize est un raccourci pratique : ses chiffres vont de 0 à 9, puis de A à F, où F veut dire 15. Réglez le sélecteur de base du bac à sable sur 2 et vérifiez 13.

Soixante à Babylone

Vers 2000 av. J.-C., les Babyloniens écrivaient les nombres en base soixante. Soixante se divise exactement par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30, si bien que les moitiés, les tiers et les quarts tombaient juste. Nous avons gardé cette habitude : une heure compte 60 minutes et une minute 60 secondes. Prenez 3725 secondes. En divisant par 3600, on obtient 1 heure, avec 125 secondes de reste, soit 2 minutes et 5 secondes. Donc 3725 s font 1 h 2 min 5 s, écrit 1 : 2 : 5 en base soixante. Les 360 degrés d’un cercle viennent probablement de la même habitude, bien que les historiens n’en soient pas certains.

Nombres et numération de position