Teorema de Pitágoras: demostración animada

El triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene una esquina de exactamente 90°, como la esquina de una hoja de papel. Los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos, llamados a y b. El lado largo opuesto es la hipotenusa, c, y siempre es el más largo. Una historia popular cuenta que en el antiguo Egipto los tensadores de cuerdas hacían un ángulo recto con una soga con doce tramos iguales marcados con nudos, doblada en un triángulo de lados 3, 4 y 5 tramos. Los números encajan, pues 3 + 4 + 5 = 12. Pero ningún texto egipcio lo describe, así que trátalo como leyenda y no como un hecho.

Cuadrados sobre los lados

Dibuja un cuadrado sobre cada lado del triángulo 3-4-5. El cuadrado del cateto corto tiene un área de 3 × 3 = 9, y el del otro cateto, 4 × 4 = 16. El cuadrado de la hipotenusa tiene 5 × 5 = 25. Y 9 + 16 = 25. No es casualidad: ocurre en todos los triángulos rectángulos. Con palabras, los dos cuadrados pequeños juntos tienen justo el área del cuadrado grande. En símbolos, a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Solo vale cuando el ángulo es recto.

Hallar un lado que falta

La regla te permite hallar un lado que no puedes medir. Toma los catetos a = 5 y b = 12. Entonces c² = 25 + 144 = 169, y c = √169 = 13. Arrastra los deslizadores del laboratorio y los cuadrados crecen a escala junto al triángulo. Muchas elecciones dan números enteros, como 6-8-10 u 8-15-17, pero la mayoría no: con catetos 1 y 1, c = √2 ≈ 1,414. Para hallar un cateto, resta. Si c = 10 y a = 6, entonces b² = 100 − 36 = 64 y b = 8. Siempre que puedas, comprueba que c sale como el lado más largo.

Una prueba sin álgebra

Esta es una de las ideas más antiguas para demostrarlo. Toma cuatro triángulos rectángulos idénticos y colócalos dentro de un cuadrado de lado a + b. Dispuestos de una manera, dejan en el centro un cuadrado inclinado de lado c. Dispuestos de otra, dejan dos cuadrados, uno de lado a y otro de lado b. El cuadrado grande y los cuatro triángulos no cambian, así que el área vacía debe ser la misma las dos veces: c² = a² + b². Compruébalo con 3 y 4. El cuadrado grande tiene un área de 7 × 7 = 49, los cuatro triángulos ocupan 4 × 6 = 24, y quedan 49 − 24 = 25, que es 9 + 16.

Más antiguo que Pitágoras

Pitágoras vivió hacia 570 a 495 a. C., en la isla griega de Samos y luego en el sur de Italia, y no dejó escritos propios, así que su papel en el teorema no está claro. Mucho más antigua es Plimpton 322, una tablilla de arcilla de Babilonia hecha hacia el 1800 a. C. y hoy guardada en la Universidad de Columbia, en Nueva York. Sus filas contienen números que pertenecen a triángulos rectángulos, como 119, 120 y 169, y en efecto 119² + 120² = 14.161 + 14.400 = 28.561 = 169². Los especialistas aún discuten para qué servía. Textos de la India y de China también usan la regla.

Distancia en un mapa

Imagina que caminas 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿A qué distancia en línea recta estás del inicio? Los dos recorridos son los catetos de un triángulo rectángulo, así que la distancia es √(3² + 4²) = √25 = 5 km. Los mapas y los videojuegos lo usan constantemente: la distancia entre los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Los televisores funcionan igual. Uno de 48 pulgadas de ancho y 27 de alto tiene una diagonal de √(48² + 27²) = √3033 ≈ 55 pulgadas, y por eso se vende como un televisor de 55 pulgadas.

Hacia las tres dimensiones

Usa el teorema dos veces y podrás cruzar una caja. Toma una caja de 3 de ancho, 4 de fondo y 12 de alto. La diagonal de su base es √(3² + 4²) = 5. Ahora toma esa línea y la altura 12 como catetos de un nuevo triángulo rectángulo: la diagonal larga que atraviesa el centro de la caja es √(5² + 12²) = √169 = 13. En un solo paso, d = √(a² + b² + c²) para aristas a, b y c, y en efecto √(9 + 16 + 144) = 13. Esto te dice la varilla más larga que cabe dentro de una caja. En el dibujo la caja de alambre gira despacio y su diagonal se ilumina.

Pitágoras y los triángulos rectángulos