El número pi: circunferencia, área del círculo y Arquímedes

El mismo número en todos los círculos

Mide el borde de una mesa redonda y luego su ancho pasando por el centro. Divide el primer número entre el segundo. Haz lo mismo con una moneda, un plato y un neumático, y siempre saldrá algo cercano a 3,14. El borde es la circunferencia C, el ancho es el diámetro d, y el cociente C / d es el mismo para todos los círculos que existen. Lo llamamos π, la letra griega pi, y π ≈ 3,14159. Por tanto, C = π × d. Una mesa de 1,2 m de ancho tiene un borde de 1,2 × 3,14159 ≈ 3,77 m. William Jones usó esa letra por primera vez para este número en 1706, y Euler la hizo famosa.

Una rueda que rueda

Imagina una rueda de diámetro exacto 1 con un punto pintado en el borde. Hazla rodar por una línea recta durante una vuelta completa. La rueda recorre una distancia igual a su circunferencia, que es π × 1, unos 3,14159. En el dibujo la línea se desenrolla junto a la rueda: tres anchos enteros de la rueda y un poco más, 0,14159 para ser exactos. Ese sobrante nunca cabe un número entero de veces. Una rueda de bicicleta funciona igual. Con un diámetro de 0,7 m, diez vueltas te llevan 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 22 m.

Arquímedes atrapa a pi

Nadie puede medir π con exactitud con una cinta. Hacia el 250 a. C. Arquímedes de Siracusa encontró una forma ingeniosa de atraparlo. Dibuja un polígono justo dentro del círculo y otro justo fuera. El borde del círculo es más largo que el perímetro del polígono interior y más corto que el del exterior. Con un hexágono las cotas son toscas. Pero si sigues duplicando los lados, 6, 12, 24, 48 y luego 96, los dos polígonos se aprietan cada vez más. Para un círculo de diámetro 1, los polígonos de 96 lados tienen perímetros de unos 3,1410 por dentro y 3,1427 por fuera.

Las cotas famosas

Con sus polígonos de 96 lados Arquímedes demostró que 3 10/71 < π < 3 1/7. En decimales, 3,14085 < π < 3,14286, y el valor verdadero, 3,14159, queda cómodamente dentro. La conocida fracción 22/7 es solo la cota superior, y acierta hasta dos decimales. Arquímedes no tenía decimales: trabajaba con fracciones y con raíces cuadradas que acotaba a mano. En el laboratorio desliza el número de lados de 3 a 96 y mira cómo las cotas interior y exterior se cierran sobre el círculo. Una fracción mejor, 355/113 ≈ 3,1415929, la halló en el siglo V el matemático chino Zu Chongzhi.

El área de un círculo

¿Cuánto mide el interior de un círculo? Córtalo como una pizza en muchas cuñas finas y colócalas lado a lado, una apuntando hacia arriba y la siguiente hacia abajo. El resultado parece un rectángulo con baches, y cuantas más cuñas, más recto queda. Su lado largo es la mitad de la circunferencia, π × r, y su altura es el radio r. Así que el área es π × r × r, que se escribe A = π r². Para una pizza de 15 cm de radio, A = π × 225 ≈ 707 cm². Una sorpresa: una pizza de 30 cm de ancho da unos 707 cm², mientras que dos pizzas de 20 cm de ancho dan solo 2 × 314 = 628 cm². Prueba otros radios en el laboratorio.

Un número sin final

¿Es π una fracción? No. En 1761 Johann Lambert demostró que π es irracional: ninguna fracción, por grandes que sean sus números, es igual a él. Por eso sus decimales no acaban ni caen en un patrón que se repita. En 1882 Ferdinand von Lindemann fue más lejos y probó que π es trascendente, lo que demostró también que un viejo enigma, dibujar con regla y compás un cuadrado con el mismo área que un círculo dado, es imposible. Las cifras empiezan 3,14159265358979323846. Para el trabajo real hacen falta pocas: el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA usa quince decimales, 3,141592653589793, para guiar naves por el Sistema Solar.

Cifras por billones

Entonces, ¿por qué se sigue calculando π? En parte para probar ordenadores y programas, y en parte por puro placer. En 1706 John Machin llegó a 100 cifras a mano con una fórmula ingeniosa. El ordenador ENIAC produjo 2037 cifras en 1949, y en 2022 un equipo con Google Cloud calculó 100 billones. Sin embargo, ninguna cantidad de cifras cambia la primera idea de este capítulo: en todo círculo, C / d es π. Y como las cifras nunca se repiten, jamás podrás escribir π completo.

Pi y el círculo