Álgebra para principiantes: ecuaciones como una balanza

La ecuación es una balanza

Mira una balanza antigua de dos platillos. Si ambos lados llevan el mismo peso, el brazo queda horizontal. Una ecuación es esa balanza escrita con símbolos, y el signo igual es su centro. Pon en el platillo izquierdo una caja con un peso oculto x, añade 3 unidades y pon 7 unidades en el derecho: x + 3 = 7. La balanza está equilibrada, así que sabemos que el peso oculto se puede hallar. El signo = lo introdujo en 1557 el matemático galés Robert Recorde, que eligió dos rectas paralelas porque, explicó, no puede haber dos cosas más iguales. Guarda la imagen: toda ecuación es un brazo en equilibrio.

Lo mismo en ambos lados

¿Cómo hallas x sin romper el equilibrio? Hagas lo que hagas en un platillo, hazlo exactamente igual en el otro. Si quitas 3 del platillo izquierdo, el brazo se inclina, a menos que también quites 3 del derecho. Tras las dos retiradas, la caja x sola equilibra 7 − 3 = 4 unidades. Por tanto x = 4. Comprueba poniendo 4 de nuevo en la ecuación: 4 + 3 = 7, y la balanza vuelve a estar equilibrada. La misma regla vale para otros movimientos: puedes sumar el mismo número a ambos lados, multiplicar ambos por el mismo número o dividir ambos por el mismo número distinto de cero.

Prueba tu propia balanza

Abre el laboratorio bajo la imagen. Construye una ecuación de la forma a·x + b = c con tres deslizadores: a de 1 a 5, b de 0 a 10, y c. La balanza se inclina hasta que la resuelves y entonces se nivela. La respuesta es x = (c − b) / a, así que con a = 3, b = 4 y c = 19 sale x = (19 − 4) / 3 = 5, y la comprobación 3 × 5 + 4 = 19 funciona. Si c − b no se divide exactamente, la respuesta es una fracción. Con a = 2, b = 1 y c = 6, x = 5/2 = 2,5. Un peso oculto puede ser una parte de la unidad.

Dos pasos en la balanza

Ahora el platillo izquierdo lleva dos cajas y una unidad extra: 2x + 1 = 9. Trabaja en orden, deshaciendo primero lo último que se hizo. Quita 1 de ambos platillos: 2x = 8. Dos cajas pesan 8, así que reparte por mitades ambos platillos: x = 4. Comprobación: 2 × 4 + 1 = 9. Aquí va otra: 3x + 5 = 20. Resta 5 a ambos lados y queda 3x = 15, luego divide entre 3 y sale x = 5, y la comprobación 3 × 5 + 5 = 20 sale bien. El plan es siempre el mismo: primero quita lo que se sumó y después deshaz el multiplicador.

Al-Juarismi y al-jabr

Hacia el año 820 d. C., en la Casa de la Sabiduría de Bagdad, el sabio Muhammad ibn Musa al-Juarismi escribió un libro sobre cómo resolver ecuaciones. Su título contenía la palabra al-jabr, que significa restaurar o completar: pasar al otro lado una cantidad restada, donde se convierte en sumada. Para x − 3 = 5, restauras sumando 3 a ambos lados, y x = 8. El latín convirtió la palabra en «álgebra». Su propio nombre, latinizado como Algoritmi, nos dio «algoritmo», porque un libro latino sobre sus cifras indias enseñaba reglas de cálculo paso a paso. Escribía sus reglas con palabras; las letras como x llegaron mucho después.

Dos incógnitas, dos balanzas

¿Y si hay dos pesos ocultos? Entonces hacen falta dos balanzas. Supón que x + y = 10 y x − y = 2. Pon las balanzas una al lado de la otra y súmalas: la y de una anula la y de la otra. Nos queda 2x = 12, así que x = 6. Ahora usa la primera balanza: 6 + y = 10, así que y = 4. Comprueba la segunda: 6 − 4 = 2. Las dos se equilibran. Este truco de sumar o restar ecuaciones enteras para anular una incógnita se llama reducción. Con palabras: dos números suman 10 y se diferencian en 2. Son 6 y 4.

Otro camino: la sustitución

Un segundo método es cambiar una incógnita por algo que ya conoces. Un cine vendió 100 entradas por 1000 en total. Las de adulto cuestan 12 y las de niño, 8. Sea a el número de adultos y n el de niños. Entonces a + n = 100 y 12a + 8n = 1000. De la primera, n = 100 − a. Sustitúyelo en la segunda: 12a + 8(100 − a) = 1000, de modo que 4a + 800 = 1000, y a = 50. Entonces n = 50 también. Comprobación: 50 × 12 + 50 × 8 = 600 + 400 = 1000. Una ecuación con una incógnita es una balanza que ya sabes equilibrar.

Álgebra: ecuaciones como balanza