Funciones y gráficas: rectas, parábolas y ondas seno

Un punto son dos números

Imagina una cuadrícula como un plano de ciudad. Para nombrar un lugar necesitas dos números: cuánto a lo ancho y cuánto hacia arriba. Son las coordenadas (x, y). El punto (3, 2) está tres pasos a la derecha y dos pasos arriba del origen, la esquina marcada (0, 0). En 1637 el pensador francés René Descartes publicó La Géométrie, que unía la geometría con el álgebra de esta manera, y por eso hablamos de coordenadas cartesianas. Pierre de Fermat tuvo una idea parecida por su cuenta. Un relato dice que Descartes lo pensó mirando una mosca en el techo, pero probablemente es una leyenda. Por Pitágoras, el punto (3, 2) está a √13 ≈ 3,61 del origen.

La línea recta

Toma una regla: duplica x y suma 1, que se escribe y = 2x + 1. Mete números y obtienes puntos: x = 0 da y = 1, x = 1 da y = 3, x = 3 da y = 7. Une los puntos y caen sobre una recta perfecta. Toda regla de la forma y = kx + b hace una recta. El número k es la pendiente: cuánto sube y cuando x aumenta en 1. El número b es el punto donde la recta corta el eje vertical. Así, k inclina la recta y b la eleva. La palabra «función» para una regla que da una salida por cada entrada viene de Leibniz, a finales del siglo XVII.

Leer la pendiente

Para hallar k, elige dos puntos y divide lo que sube entre lo que avanza. Una recta pasa por (0, 1) y (4, 9). Lo que sube es 9 − 1 = 8, lo que avanza es 4 − 0 = 4, así que k = 8 / 4 = 2 y b = 1: otra vez es y = 2x + 1. Una k negativa hace que la recta baje, y k = 0 la deja plana. ¿Te suena? En el libro de física, una gráfica distancia-tiempo es una recta cuya pendiente es la velocidad. En el laboratorio elige la recta y mueve k y b: el punto móvil muestra sus coordenadas mientras se desliza por ella.

La parábola

Ahora eleva al cuadrado la entrada: y = x². Los valores para x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 son 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Represéntalos y obtendrás una curva en forma de U llamada parábola. Es simétrica, porque un número negativo al cuadrado es positivo, y su punto más bajo está en (0, 0). La curva es empinada lejos del centro y plana cerca del fondo, porque cada paso hacia fuera añade más que el anterior: de 1 a 2 añade 3, y de 2 a 3 añade 5. Si duplicas x, y se cuadruplica, lo que te recordará a los cuerpos que caen, donde la distancia crece con el cuadrado del tiempo.

El camino de una pelota

Lanza una pelota hacia arriba a 10 m/s en la Tierra. Su altura tras t segundos es h = 10t − 4,905 t², donde 4,905 es g / 2 y g = 9,81. Es una parábola invertida. La pelota llega a su máximo cuando t = 10 / 9,81 ≈ 1,02 s, a una altura de 10² / (2 × 9,81) ≈ 5,10 m, y cae en t = 2 × 10 / 9,81 ≈ 2,04 s, cuando h vuelve a ser cero. La misma forma aparece en el vuelo de una pelota lanzada en ángulo, en los cables principales de un puente colgante y en el plato de una antena de satélite.

Leer una gráfica

Una gráfica es una imagen que se puede leer. Donde corta el eje horizontal, y vale cero: esos lugares son los ceros de la función. Toma y = 2x − 6. Si pones y = 0 sale 2x = 6, así que x = 3. Para y = x² − 4, los ceros están donde x² = 4, en x = −2 y x = 2, y el punto más bajo es (0, −4). Los puntos más alto y más bajo se llaman máximo y mínimo. Donde una curva sube, y crece; donde baja, y decrece. En el laboratorio desliza el punto por la parábola y mira cómo el valor baja hasta su mínimo y vuelve a subir.

Una regla, una onda

Hay reglas que dibujan formas que se repiten para siempre. Mira y = sen x, con x medida en radianes. Al crecer x desde 0, y sube hasta 1 en x = π/2 ≈ 1,571, vuelve a 0 en x = π ≈ 3,142, baja a −1 en x = 3π/2 ≈ 4,712 y regresa a 0 cuando x = 2π ≈ 6,283. Entonces el patrón empieza de nuevo. La onda nunca supera 1 ni baja de −1. Si multiplicas por 3, y = 3 sen x oscila entre −3 y 3. El sonido, la luz y un péndulo que oscila se describen con curvas de este tipo. Cambia el laboratorio a la función seno y arrastra el punto por la onda.

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