Crecimiento exponencial: duplicar, regla del 72, semivida

Sumar frente a duplicar

Dos plantas empiezan con una hoja cada una. La primera gana 2 hojas cada día. La segunda duplica sus hojas cada día. Al cabo de una semana la diferencia ya se nota: la primera tiene 1 + 2 × 7 = 15 hojas, la segunda 2⁷ = 128. A los 10 días son 21 contra 1.024, y a los 30 días, 61 contra 1.073.741.824. Sumar la misma cantidad cada vez es crecimiento lineal, y su gráfica es una recta. Multiplicar por el mismo factor cada vez es crecimiento exponencial, y su gráfica se curva hacia arriba cada vez más deprisa. Mira cómo se separan las dos curvas en el dibujo.

La leyenda del tablero

Una famosa leyenda habla del inventor del ajedrez, que pidió como premio a un rey un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, duplicando en cada casilla. El rey se rio de petición tan pequeña. Es solo un cuento, y los detalles cambian según quién lo cuente. Pero la aritmética es real. La casilla 10 tiene 2⁹ = 512 granos, la 11 tiene 1.024, y en la casilla 21 ya hay más de un millón. Solo la casilla 64 tiene 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 granos, unos 9,2 trillones.

Sumar todo el tablero

¿Cuántos granos necesita todo el tablero? Suma las casillas: 1 + 2 + 4 + 8 y así sucesivamente. Para las tres primeras, 1 + 2 + 4 = 7, que es 2³ − 1. Este patrón siempre se cumple: las primeras n casillas juntas tienen 2ⁿ − 1 granos. Para las 64 casillas el total es 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615, unos 1,8 × 10¹⁹. Según una estimación aproximada, es muchas centenas de veces el trigo que cosecha el mundo entero en un año. En el laboratorio pon la tasa en 100 % por paso, para que la cantidad se duplique cada vez, y cambia el eje a escala logarítmica: la curva se endereza hasta ser una recta.

Interés compuesto

Pon 1.000 en una cuenta que paga un 10 % al año y deja los intereses dentro. Tras un año tienes 1.000 × 1,10 = 1.100. Tras dos años el interés se paga sobre 1.100, no sobre 1.000, así que tienes 1.100 × 1,10 = 1.210, y tras tres años, 1.331. En general, A = P × (1 + r)ⁿ, donde P es la cantidad inicial, r es la tasa en forma decimal y n es el número de años. Con interés simple solo se sumarían 100 al año, y tendrías 1.300 tras tres años. Los 31 de más son interés sobre interés, y por eso el crecimiento exponencial empieza despacio y luego se desboca.

La regla del 72

¿Cuánto tarda el dinero en duplicarse? Resuelve 1,10ⁿ = 2 y sale n = ln 2 / ln 1,10 ≈ 7,27 años. Puedes saltarte los logaritmos con la regla del 72: divide 72 entre la tasa en porcentaje. Al 10 %, 72 / 10 = 7,2 años, muy cerca de 7,27. Al 6 % la regla dice 12 años, y la respuesta exacta es 11,9. Al 8 % dice 9 años, y la exacta es 9,01. Una comprobación con la tabla: 1.000 se convierte en 1.949 tras 7 años y en 2.144 tras 8, así que la duplicación ocurre durante el año 8. La regla funciona mejor para tasas de entre un 6 % y un 10 % aproximadamente.

Mitades y carbono 14

El crecimiento tiene un gemelo en el espejo: partir por la mitad. Un átomo radiactivo se desintegra al azar, pero una gran multitud de ellos obedece una regla clara: pasado un tiempo fijo, llamado semivida, queda la mitad. Para el carbono 14 la semivida es de 5.730 años. Los seres vivos toman carbono 14 del aire y de los alimentos. Cuando mueren, el suministro se corta y la cantidad se reduce a la mitad cada 5.730 años. Un hueso con la cuarta parte de la cantidad original tiene dos semividas: 2 × 5.730 = 11.460 años. Si queda un octavo, tiene 3 × 5.730 = 17.190 años. Willard Libby inventó la datación por radiocarbono en 1949. Pasados unos 50.000 años queda demasiado poco para medirlo.

El número e

Vuelve al banco. Supón que un banco paga un 100 % al año. Si paga los intereses una vez, 1 se convierte en 2. Si los paga cada seis meses, 50 % dos veces, sale 1,5 × 1,5 = 2,25. Si paga cada mes: (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613. Si paga cada día: (1 + 1/365)³⁶⁵ ≈ 2,7146. Si lo haces aún más a menudo, el total sube poco a poco pero nunca pasa un límite: e ≈ 2,71828. Jacob Bernoulli se topó con este límite en 1683 estudiando el interés, y Leonhard Euler le dio después la letra e. Igual que π, e es irracional, así que sus cifras no acaban.

Crecimiento continuo

Cuando el crecimiento se compone sin pausa, la cantidad tras un tiempo t es A = P × e^(r t), donde r es la tasa en forma decimal. Pon 1.000 en una cuenta con un 10 % de crecimiento compuesto de forma continua durante 1 año: 1.000 × e^0,1 ≈ 1.105,17, algo más que los 1.100 de un pago anual. El tiempo de duplicación es ln 2 / r = 0,693 / 0,10 ≈ 6,93 años. Las bacterias de una placa, un rumor que se extiende y un condensador que se descarga siguen esta misma curva, con una r negativa para la desintegración. Prueba distintas tasas en el laboratorio y compara las curvas.

Crecimiento, duplicar y partir por la mitad