Croissance exponentielle : doublement, règle de 72, demi-vie

Additionner contre doubler

Deux plantes commencent avec une feuille chacune. La première gagne 2 feuilles par jour. La seconde double son nombre de feuilles chaque jour. Au bout d’une semaine, l’écart est déjà net : la première a 1 + 2 × 7 = 15 feuilles, la seconde 2⁷ = 128. Après 10 jours, c’est 21 contre 1 024, et après 30 jours 61 contre 1 073 741 824. Ajouter la même quantité à chaque fois, c’est une croissance linéaire, et son graphique est une droite. Multiplier par le même facteur à chaque fois, c’est une croissance exponentielle, et son graphique se courbe vers le haut de plus en plus vite. Regardez les deux courbes se séparer dans le dessin.

La légende de l’échiquier

Une célèbre légende parle de l’inventeur des échecs qui demanda une récompense à un roi : un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, en doublant à chaque case. Le roi rit d’une demande si modeste. Ce n’est qu’une histoire, et les détails changent d’un conteur à l’autre. Mais l’arithmétique, elle, est réelle. La case 10 contient 2⁹ = 512 grains, la case 11 en contient 1 024, et dès la case 21 il y en a plus d’un million. La case 64 à elle seule contient 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 grains, soit environ 9,2 × 10¹⁸.

Le total de tout l’échiquier

De combien de grains tout l’échiquier a-t-il besoin ? Additionnez les cases : 1 + 2 + 4 + 8 et ainsi de suite. Pour les trois premières cases, 1 + 2 + 4 = 7, soit 2³ − 1. Ce schéma marche toujours : les n premières cases réunies contiennent 2ⁿ − 1 grains. Pour les 64 cases, le total est 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615, soit environ 1,8 × 10¹⁹. D’après une estimation grossière, c’est plusieurs centaines de fois le blé que la planète récolte en un an. Dans le bac à sable, réglez le taux à 100 % par pas, de sorte que la quantité double à chaque fois, puis passez l’axe en échelle logarithmique : la courbe se redresse en droite.

Les intérêts composés

Placez 1000 euros sur un compte qui rapporte 10 % par an, et laissez les intérêts dessus. Au bout d’un an, vous avez 1000 × 1,10 = 1100. Au bout de deux ans, les intérêts sont versés sur 1100, et non sur 1000, donc vous avez 1100 × 1,10 = 1210, et après trois ans 1331. En général, A = P × (1 + r)ⁿ, où P est la somme de départ, r le taux écrit en décimal et n le nombre d’années. Des intérêts simples n’ajouteraient que 100 par an, soit 1300 après trois ans. Les 31 de plus sont des intérêts sur les intérêts, et c’est pourquoi la croissance exponentielle démarre lentement puis s’emballe.

La règle de 72

Combien de temps faut-il à l’argent pour doubler ? Résolvez 1,10ⁿ = 2 et vous obtenez n = ln 2 / ln 1,10 ≈ 7,27 ans. On peut se passer des logarithmes avec la règle de 72 : divisez 72 par le taux en pourcentage. À 10 %, 72 / 10 = 7,2 ans, très proche de 7,27. À 6 %, la règle donne 12 ans, et la réponse exacte est 11,9. À 8 %, elle donne 9 ans, et l’exacte 9,01. Vérification avec le tableau : 1000 devient 1949 après 7 ans et 2144 après 8 ans, donc le doublement a lieu pendant la huitième année. La règle est à son meilleur pour des taux d’environ 6 % à 10 %.

La demi-vie et le carbone 14

La croissance a un jumeau inversé : la division par deux. Un atome radioactif se désintègre au hasard, mais une grande foule d’atomes obéit à une règle claire : au bout d’un temps fixe, appelé demi-vie, la moitié subsiste. Pour le carbone 14, la demi-vie est de 5 730 ans. Les êtres vivants absorbent du carbone 14 dans l’air et la nourriture. À leur mort, l’apport s’arrête et la quantité est divisée par deux tous les 5 730 ans. Un os qui contient le quart de la quantité d’origine a deux demi-vies : 2 × 5 730 = 11 460 ans. S’il en reste un huitième, il a 3 × 5 730 = 17 190 ans. Willard Libby a inventé la datation au radiocarbone en 1949. Au-delà d’environ 50 000 ans, il en reste trop peu pour être mesuré.

Le nombre e

Retournons à la banque. Supposons qu’une banque verse 100 % par an. Versez les intérêts une fois et 1 devient 2. Versez-les au semestre, 50 % deux fois, et vous obtenez 1,5 × 1,5 = 2,25. Versez-les chaque mois : (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613. Chaque jour : (1 + 1/365)³⁶⁵ ≈ 2,7146. Faites-le encore plus souvent et le total grimpe doucement sans jamais dépasser une limite : e ≈ 2,71828. Jacques Bernoulli a rencontré cette limite en 1683 en étudiant les intérêts, et Leonhard Euler lui a ensuite donné la lettre e. Comme π, e est irrationnel : ses décimales ne finissent jamais.

La croissance continue

Quand la croissance se compose en permanence, la quantité après un temps t est A = P × e^(r t), où r est le taux écrit en décimal. Placez 1000 euros sur un compte à 10 % de croissance composée en continu pendant 1 an : 1000 × e^0,1 ≈ 1105,17, un peu plus que les 1100 d’un versement annuel. Le temps de doublement est ln 2 / r = 0,693 / 0,10 ≈ 6,93 ans. Les bactéries d’une boîte de Petri, une rumeur qui se propage et un condensateur qui se décharge suivent cette même courbe, avec un r négatif pour la décroissance. Essayez différents taux dans le bac à sable et comparez les courbes.

Croissance, doublement et moitiés