Bases des probabilités : pièces, dés et courbe en cloche

Quelle est la probabilité ?

Lancez une pièce équilibrée. Elle tombe sur pile ou sur face, aucun des deux n’est favorisé, donc chacun a une probabilité de 1/2. Une probabilité est un nombre de 0 (impossible) à 1 (certain) qui mesure la vraisemblance : le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas également probables. Pour un lancer de dé, la chance d’obtenir un six est 1/6 ≈ 0,167. Lancez deux pièces et il y a quatre issues, PP, PF, FP et FF, donc deux piles ont une probabilité de 1/4. Une pièce n’a pas de mémoire. Après cinq piles de suite, le lancer suivant reste à 1/2 pour chaque côté. Croire que face « doit » sortir est une erreur très courante.

Les piles à long terme

Lancez une pièce dix fois et vous verrez peut-être 7 piles, une part de 0,7. Ce n’est pas étrange : la probabilité d’obtenir au moins 7 piles en 10 lancers est (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176 / 1024 ≈ 17 %. Lancez mille fois et la part tombe bien plus près de 0,5 ; un écart typique est d’environ 0,016, soit entre 0,484 et 0,516. Dans le dessin, la courbe de la part ondule puis se fixe. C’est la loi des grands nombres, démontrée par Jacques Bernoulli et publiée en 1713, après sa mort.

L’écart grandit, la part se fixe

Un point délicat : la loi dit que la part de piles se rapproche de 1/2, pas que piles et faces s’égalisent en nombre. Après 100 lancers, l’écart typique entre les effectifs est d’environ 10, et après 10 000 lancers d’environ 100. L’écart grandit, mais lentement par rapport au nombre de lancers, donc la part se fixe quand même. Le mathématicien sud-africain John Kerrich, interné au Danemark pendant la Seconde Guerre mondiale, a lancé une pièce 10 000 fois et noté 5 067 piles, soit une part de 0,5067. Les lancers du dessin sont tirés d’une graine fixe, vous pouvez donc les rejouer exactement.

Une lettre de Pascal

En 1654, un joueur, le chevalier de Méré, a apporté à Blaise Pascal un problème : deux joueurs arrêtent une partie avant la fin, comment partager l’enjeu ? Pascal et Pierre de Fermat se sont écrit à ce sujet, et la probabilité moderne est née de cet échange. Essayez. Le premier à gagner 3 manches remporte 64 pièces, et le joueur A mène 2 à 1. Il reste au plus deux manches. B ne gagne qu’en prenant les deux, avec une probabilité de 1/2 × 1/2 = 1/4. A doit donc recevoir 3/4 de l’enjeu, soit 48 pièces, et B 16.

Le triangle de Pascal

Pascal a aussi étudié un triangle de nombres. Commencez par 1 en haut, et faites de chaque nombre la somme des deux au-dessus : 1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1. La ligne n compte les façons dont les piles peuvent tomber en n lancers. La ligne 4 dit que, parmi les 16 issues également probables de quatre lancers, 1 n’a aucun pile, 4 en ont un, 6 en ont deux, 4 en ont trois et 1 en a quatre. Donc obtenir exactement deux piles a une probabilité de 6/16 = 0,375. Le triangle était connu des siècles plus tôt en Chine, en Inde et en Perse, mais Pascal l’a relié au hasard.

La planche de Galton

Sir Francis Galton a décrit en 1889 une planche garnie de clous. Une bille tombe à travers, et à chaque clou elle rebondit à gauche ou à droite avec une probabilité de 1/2. Après 10 rangées, la bille finit dans l’une des 11 cases. Pour tomber dans la case du milieu, il lui faut exactement 5 rebonds à droite, ce qui peut arriver de 252 façons (5 parmi 10) sur 1024, soit 252 / 1024 ≈ 0,246. Une case d’extrémité a une probabilité de 1/1024. Versez beaucoup de billes et les tas dessinent une courbe en cloche, qu’Abraham de Moivre avait trouvée en 1733. Dans le bac à sable, changez le nombre de rangées et la probabilité d’un rebond à droite, et le tas glisse sur le côté.

Deux dés

Lancez deux dés et additionnez. Il y a 6 × 6 = 36 paires également probables. Une somme de 2 demande (1 ; 1), une seule paire ; une somme de 12 demande (6 ; 6), une seule aussi. Mais une somme de 7 peut sortir comme (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) ou (6 ; 1), soit six paires. Donc P(7) = 6/36 = 1/6, la somme la plus probable. Les effectifs pour les sommes de 2 à 12 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, qui font 36 au total et dessinent une petite tente, cousine de la courbe en cloche.

Utiliser les dés

Compter les paires répond à de nombreuses questions. La probabilité d’une somme d’au moins 10 est (3 + 2 + 1) / 36 = 6/36 = 1/6. La probabilité d’un 8 est 5/36 ≈ 0,139. Pour deux événements séparés qui n’agissent pas l’un sur l’autre, on multiplie : deux six de suite ont une probabilité de 1/6 × 1/6 = 1/36. Les jeux de société, les tables d’assurance et les prévisions météo reposent tous sur de tels dénombrements. Une prévision de 30 % de pluie signifie, en gros, que par temps semblable il a plu environ 3 jours sur 10.

Probabilités et hasard