Основы вероятности: монеты, кости и колоколообразная кривая

Насколько это вероятно?

Подбросьте честную монету. Она падает орлом или решкой, и ни одной стороне не отдано предпочтение, поэтому у каждой вероятность 1/2. Вероятность — число от 0 (невозможно) до 1 (достоверно), измеряющее, насколько что-то возможно: благоприятные исходы, делённые на все равновозможные исходы. При одном броске кубика шанс шестёрки равен 1/6 ≈ 0,167. Подбросьте две монеты — исходов четыре: ОО, ОР, РО и РР, так что вероятность двух орлов равна 1/4. У монеты нет памяти. После пяти орлов подряд следующий бросок по-прежнему 1/2 в обе стороны. Вера в то, что «решка должна выпасть», — очень частая ошибка.

Орлы в долгой серии

Бросьте монету десять раз, и вы можете увидеть 7 орлов, то есть долю 0,7. Это не странно: шанс получить хотя бы 7 орлов из 10 бросков равен (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176 / 1024 ≈ 17 %. Бросьте тысячу раз, и доля окажется гораздо ближе к 0,5; типичное отклонение около 0,016, то есть между 0,484 и 0,516. На рисунке линия доли колеблется и затем оседает. Это закон больших чисел, доказанный Якобом Бернулли и изданный в 1713 году, уже после его смерти.

Разрыв растёт, а доля оседает

Важная тонкость: закон говорит, что доля орлов приближается к 1/2, а не что число орлов и решек выравнивается. После 100 бросков типичный разрыв между числами около 10, а после 10 000 бросков — около 100. Разрыв растёт, но медленно по сравнению с числом бросков, и поэтому доля всё равно оседает. Южноафриканский математик Джон Керрих, интернированный в Дании во Вторую мировую войну, подбросил монету 10 000 раз и записал 5 067 орлов, то есть долю 0,5067. Броски на рисунке заданы начальным числом, поэтому вы можете проиграть их точно так же.

Письмо Паскаля

В 1654 году игрок, шевалье де Мере, принёс Блезу Паскалю загадку: два игрока прекращают партию, не доиграв, как разделить приз? Паскаль и Пьер Ферма обменялись об этом письмами, и из этой переписки выросла современная теория вероятностей. Попробуйте сами. Тот, кто первым выиграет 3 раунда, забирает 64 монеты, и игрок A ведёт 2 : 1. Осталось не больше двух раундов. B побеждает, лишь выиграв оба, с вероятностью 1/2 × 1/2 = 1/4. Значит, A причитается 3/4 приза, то есть 48 монет, а B — 16.

Треугольник Паскаля

Паскаль изучал и треугольник из чисел. Начните с единицы наверху, и пусть каждое число будет суммой двух над ним: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1. Строка n считает, сколькими способами могут выпасть орлы в n бросках. Строка 4 говорит: среди 16 равновозможных исходов четырёх бросков у 1 нет орлов, у 4 один, у 6 два, у 4 три и у 1 четыре. Значит, ровно два орла выпадут с вероятностью 6/16 = 0,375. Треугольник был известен веками раньше в Китае, Индии и Персии, но Паскаль связал его со случаем.

Доска Гальтона

Сэр Фрэнсис Гальтон описал в 1889 году доску со штырьками. Шарик падает вниз, на каждом штырьке отскакивая влево или вправо с вероятностью 1/2. После 10 рядов шарик попадает в одну из 11 ячеек. Чтобы упасть в среднюю, нужно ровно 5 раз вправо, а это возможно C(10, 5) = 252 способами из 1024, то есть 252 / 1024 ≈ 0,246. Для крайней ячейки вероятность равна 1/1024. Высыпьте много шариков, и кучки сложатся в колоколообразную кривую, которую Авраам де Муавр нашёл ещё в 1733 году. В песочнице меняйте число рядов и шанс отскока вправо, и куча сместится в сторону.

Две кости

Бросьте две кости и сложите очки. Всего 6 × 6 = 36 равновозможных пар. Сумме 2 соответствует (1, 1), одна пара; сумме 12 — (6, 6), тоже одна. А сумма 7 получается как (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) или (6, 1) — шестью парами. Значит, P(7) = 6/36 = 1/6, это самая вероятная сумма. Числа пар для сумм от 2 до 12 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, в итоге 36, и они рисуют маленький шатёр, родственник колокола.

Кости в деле

Подсчёт пар отвечает на многие вопросы. Шанс суммы не меньше 10 равен (3 + 2 + 1) / 36 = 6/36 = 1/6. Шанс восьмёрки равен 5/36 ≈ 0,139. Для двух отдельных событий, не влияющих друг на друга, вероятности перемножают: две шестёрки подряд выпадают с вероятностью 1/6 × 1/6 = 1/36. На таких подсчётах построены настольные игры, страховые таблицы и прогнозы погоды. Прогноз «30 % дождя» означает, грубо говоря, что в похожую погоду дождь шёл примерно в 3 днях из 10.

Вероятность и случай