Probabilidad básica: monedas, dados y campana de Gauss

¿Cuánta probabilidad hay?

Lanza una moneda justa. Cae cara o cruz, y ninguna está favorecida, así que cada una tiene probabilidad 1/2. La probabilidad es un número de 0 (imposible) a 1 (seguro) que mide lo posible que es algo: los resultados favorables divididos entre todos los resultados igual de probables. Al lanzar un dado una vez, la probabilidad de sacar un seis es 1/6 ≈ 0,167. Si lanzas dos monedas hay cuatro resultados, CC, CX, XC y XX, así que dos caras tiene probabilidad 1/4. Una moneda no tiene memoria. Tras cinco caras seguidas, el siguiente lanzamiento sigue siendo 1/2 para cada lado. Creer que la cruz «toca ya» es un error muy común.

Caras a largo plazo

Lanza una moneda diez veces y podrías ver 7 caras, una proporción de 0,7. No es raro: la probabilidad de al menos 7 caras en 10 lanzamientos es (120 + 45 + 10 + 1) / 1.024 = 176 / 1.024 ≈ 17 %. Lánzala mil veces y la proporción queda mucho más cerca de 0,5; una distancia típica es de unos 0,016, es decir, entre 0,484 y 0,516. En el dibujo la línea de la proporción oscila y luego se asienta. Esta es la ley de los grandes números, demostrada por Jacob Bernoulli y publicada en 1713, tras su muerte.

La diferencia crece, la proporción se asienta

Un matiz importante: la ley dice que la proporción de caras se acerca a 1/2, no que caras y cruces se igualen en número. Tras 100 lanzamientos, la diferencia típica entre los recuentos es de unos 10, y tras 10.000 lanzamientos, de unos 100. La diferencia crece, pero despacio comparada con el número de lanzamientos, así que la proporción igualmente se asienta. El matemático sudafricano John Kerrich, internado en Dinamarca durante la Segunda Guerra Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces y anotó 5.067 caras, una proporción de 0,5067. Los lanzamientos del dibujo están sembrados con una semilla, así que puedes repetirlos exactamente.

Una carta de Pascal

En 1654 un jugador, el caballero de Méré, llevó a Blaise Pascal un acertijo: dos jugadores detienen una partida antes del final, ¿cómo deben repartirse el premio? Pascal y Pierre de Fermat se escribieron cartas sobre ello, y de ese intercambio nació la probabilidad moderna. Pruébalo. El primero en ganar 3 rondas se lleva 64 monedas, y el jugador A va ganando 2 a 1. Quedan como mucho dos rondas. B solo gana si se lleva las dos, con probabilidad 1/2 × 1/2 = 1/4. Así que A debería recibir 3/4 del premio, 48 monedas, y B, 16.

El triángulo de Pascal

Pascal también estudió un triángulo de números. Empieza con un 1 arriba y haz que cada número sea la suma de los dos de encima: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1. La fila n cuenta de cuántas maneras pueden caer las caras en n lanzamientos. La fila 4 dice que entre los 16 resultados igual de probables de cuatro lanzamientos, 1 no tiene caras, 4 tienen una, 6 tienen dos, 4 tienen tres y 1 tiene cuatro. Así, exactamente dos caras tiene probabilidad 6/16 = 0,375. El triángulo se conocía siglos antes en China, la India y Persia, pero Pascal lo unió al azar.

La tabla de Galton

Sir Francis Galton describió en 1889 un tablero de clavos. Una bola cae a través de él y en cada clavo rebota a la izquierda o a la derecha con probabilidad 1/2. Tras 10 filas la bola acaba en uno de 11 casilleros. Para caer en el casillero central necesita exactamente 5 derechas, lo que puede ocurrir de C(10, 5) = 252 maneras entre 1.024, o sea 252 / 1.024 ≈ 0,246. Un casillero de los extremos tiene probabilidad 1/1.024. Echa muchas bolas y los montones forman una campana, que Abraham de Moivre había hallado en 1733. En el laboratorio cambia las filas y la probabilidad de rebotar a la derecha, y el montón se desplaza de lado.

Dos dados

Lanza dos dados y suma los puntos. Hay 6 × 6 = 36 parejas igual de probables. Una suma de 2 necesita (1, 1), una pareja; una suma de 12 necesita (6, 6), también una. Pero una suma de 7 puede salir como (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) o (6, 1), seis parejas. Así, P(7) = 6/36 = 1/6, la suma más probable. Los recuentos de las sumas de 2 a 12 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, que suman 36 y dibujan una pequeña tienda de campaña, prima de la campana.

Sacarle partido a los dados

Contar parejas responde a muchas preguntas. La probabilidad de una suma de al menos 10 es (3 + 2 + 1) / 36 = 6/36 = 1/6. La de sacar un 8 es 5/36 ≈ 0,139. Para dos sucesos separados que no se afectan entre sí, se multiplica: dos seises seguidos tienen probabilidad 1/6 × 1/6 = 1/36. Los juegos de mesa, las tablas de los seguros y los pronósticos del tiempo se construyen con recuentos así. Un pronóstico de un 30 % de lluvia significa, más o menos, que con un tiempo parecido llovió unos 3 días de cada 10.

Probabilidad y azar