Показательный рост: удвоение, правило 72, полураспад

Прибавление против удвоения

Два растения начинают с одного листа. Первое прибавляет по 2 листа в день. Второе каждый день удваивает число листьев. Через неделю разница уже заметна: у первого 1 + 2 × 7 = 15 листьев, у второго 2⁷ = 128. Через 10 дней будет 21 против 1 024, а через 30 дней — 61 против 1 073 741 824. Прибавление одного и того же каждый раз — линейный рост, и его график прямая. Умножение на один и тот же множитель каждый раз — показательный рост, и его график изгибается вверх всё быстрее и быстрее. Смотрите, как на рисунке две кривые расходятся.

Легенда о шахматной доске

Известная легенда рассказывает об изобретателе шахмат, который попросил у царя награду: одно зерно пшеницы на первой клетке, два на второй, четыре на третьей, удваивая на каждой клетке. Царь посмеялся над такой скромной просьбой. Это только рассказ, и у разных рассказчиков подробности меняются. Но арифметика настоящая. На клетке 10 лежит 2⁹ = 512 зёрен, на клетке 11 — 1 024, а к клетке 21 их уже больше миллиона. Одна лишь клетка 64 вмещает 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 зёрен, около 9,2 квинтиллиона.

Складываем всю доску

Сколько зёрен нужно на всю доску? Сложите клетки: 1 + 2 + 4 + 8 и так далее. Для первых трёх клеток 1 + 2 + 4 = 7, это 2³ − 1. Так бывает всегда: первые n клеток вместе содержат 2ⁿ − 1 зёрен. Для всех 64 клеток сумма равна 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615, около 1,8 × 10¹⁹. По грубой оценке, это во много сотен раз больше, чем весь мир собирает пшеницы за год. В песочнице поставьте ставку 100 % за шаг, чтобы величина удваивалась каждый раз, и переключите ось на логарифмическую: кривая выпрямится в линию.

Сложные проценты

Положите 1000 на счёт, который платит 10 % в год, и не снимайте проценты. Через год будет 1000 × 1,10 = 1100. Через два года проценты начисляют уже на 1100, а не на 1000, поэтому у вас 1100 × 1,10 = 1210, а через три года — 1331. В общем виде A = P × (1 + r)ⁿ, где P — начальная сумма, r — ставка в виде десятичной дроби, а n — число лет. Простые проценты добавляли бы лишь по 100 в год и дали бы 1300 через три года. Лишние 31 — это проценты на проценты, и поэтому показательный рост сперва медленный, а потом вырывается вперёд.

Правило 72

За сколько лет деньги удвоятся? Решите 1,10ⁿ = 2, и вы получите n = ln 2 / ln 1,10 ≈ 7,27 года. Логарифмы можно обойти правилом 72: разделите 72 на ставку в процентах. При 10 % получится 72 / 10 = 7,2 года, очень близко к 7,27. При 6 % правило даёт 12 лет, а точный ответ — 11,9. При 8 % правило даёт 9 лет, а точный — 9,01. Проверка по таблице: 1000 превращается в 1949 через 7 лет и в 2144 через 8 лет, так что удвоение происходит в течение восьмого года. Правило лучше всего работает для ставок примерно от 6 % до 10 %.

Убывание вдвое и углерод-14

У роста есть зеркальный близнец — убывание вдвое. Радиоактивный атом распадается случайно, но большая толпа атомов подчиняется ясному правилу: через определённое время, период полураспада, остаётся половина. У углерода-14 период полураспада равен 5 730 лет. Живые существа получают углерод-14 из воздуха и пищи. Когда они умирают, поступление прекращается, и количество уменьшается вдвое каждые 5 730 лет. Кость, в которой осталась четверть исходного количества, прожила два периода: 2 × 5 730 = 11 460 лет. Если осталась восьмая часть, ей 3 × 5 730 = 17 190 лет. Радиоуглеродный метод в 1949 году придумал Уиллард Либби. После примерно 50 000 лет остаётся слишком мало, чтобы измерить.

Число e

Вернёмся в банк. Допустим, банк платит 100 % в год. Выплатите проценты один раз — и 1 станет 2. Выплачивайте раз в полгода, дважды по 50 %, и получится 1,5 × 1,5 = 2,25. Раз в месяц: (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613. Каждый день: (1 + 1/365)³⁶⁵ ≈ 2,7146. Платите ещё чаще — итог ползёт вверх, но не переходит предел: e ≈ 2,71828. Якоб Бернулли встретил этот предел в 1683 году, изучая проценты, а Леонард Эйлер позже дал ему букву e. Как и π, число e иррационально, и его цифры никогда не кончаются.

Непрерывный рост

Когда рост начисляется непрерывно, величина через время t равна A = P × e^(r t), где r — ставка в виде десятичной дроби. Положите 1000 на счёт с 10 % при непрерывном начислении на 1 год: 1000 × e^0,1 ≈ 1105,17, чуть больше, чем 1100 при ежегодной выплате. Время удвоения равно ln 2 / r = 0,693 / 0,10 ≈ 6,93 года. По этой же кривой растут бактерии в чашке, распространяются слухи и разряжается конденсатор, только при убывании r отрицательно. Меняйте ставки в песочнице и сравнивайте кривые.

Рост, удвоение и убывание