Функции и графики: прямая, парабола и синусоида

Точка — это два числа

Представьте сетку, как на плане города. Чтобы назвать место, нужны два числа: насколько вбок и насколько вверх. Это координаты (x, y). Точка (3, 2) находится на три шага вправо и на два шага вверх от начала — угла с пометкой (0, 0). В 1637 году французский мыслитель Рене Декарт издал «Геометрию», связав геометрию с алгеброй таким способом, поэтому мы говорим о декартовых координатах. Пьер Ферма независимо пришёл к похожей мысли. Один рассказ утверждает, что Декарт придумал это, глядя на муху на потолке, но это, скорее всего, легенда. По Пифагору, точка (3, 2) отстоит от начала на √13 ≈ 3,61.

Прямая линия

Возьмите правило: удвоить x и прибавить 1, то есть y = 2x + 1. Подставляйте числа, и получатся точки: при x = 0 будет y = 1, при x = 1 — y = 3, при x = 3 — y = 7. Соедините точки, и они лягут на идеально прямую линию. Любое правило вида y = kx + b задаёт прямую. Число k — наклон: на сколько растёт y, когда x увеличивается на 1. Число b показывает, где линия пересекает вертикальную ось. Значит, k наклоняет линию, а b поднимает. Слово «функция» для правила, которое даёт один результат для каждого числа на входе, предложил Лейбниц в конце XVII века.

Читаем наклон

Чтобы найти k, возьмите две точки и разделите подъём на пройденное расстояние по горизонтали. Прямая проходит через (0, 1) и (4, 9). Подъём равен 9 − 1 = 8, горизонтальный путь 4 − 0 = 4, значит, k = 8 / 4 = 2 и b = 1: снова получилось y = 2x + 1. Отрицательное k заставляет линию опускаться, а при k = 0 она горизонтальна. Не напоминает ли это что-то? В книге по физике график пути и времени — прямая, наклон которой равен скорости. В песочнице выберите прямую и двигайте k и b: бегущая точка показывает свои координаты, пока скользит по линии.

Парабола

Теперь возведём входное число в квадрат: y = x². При x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 получаются значения 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Нанесите их на график — и увидите кривую в форме U, которая называется параболой. Она симметрична, потому что квадрат отрицательного числа положителен, а её низшая точка лежит в (0, 0). Далеко от центра кривая крутая, а внизу пологая, потому что каждый шаг наружу прибавляет больше предыдущего: от 1 до 2 прибавка равна 3, а от 2 до 3 — уже 5. Удвоение x учетверяет y, и это напоминает падающие тела, где путь растёт как квадрат времени.

Путь мяча

Бросьте мяч прямо вверх со скоростью 10 м/с на Земле. Его высота через t секунд равна h = 10t − 4,905 t², где 4,905 — это g / 2 при g = 9,81. Это перевёрнутая парабола. Мяч достигает вершины при t = 10 / 9,81 ≈ 1,02 с на высоте 10² / (2 × 9,81) ≈ 5,10 м, а приземляется при t = 2 × 10 / 9,81 ≈ 2,04 с, когда h снова равно нулю. Такая же форма у траектории мяча, брошенного под углом, у главных тросов висячего моста и у тарелки спутниковой антенны.

Как читать график

График — это картинка, которую можно прочитать. Там, где он пересекает горизонтальную ось, y равен нулю: эти места называют нулями функции. Возьмите y = 2x − 6. Положив y = 0, получим 2x = 6, то есть x = 3. У y = x² − 4 нули там, где x² = 4, то есть при x = −2 и x = 2, а самая низкая точка — (0, −4). Самую высокую и самую низкую точки называют максимумом и минимумом. Где кривая поднимается, y возрастает; где опускается, y убывает. В песочнице проведите точку по параболе и смотрите, как показание падает до минимума и снова растёт.

Одно правило — волна

Правила могут давать формы, которые повторяются без конца. Посмотрите на y = sin x, где x измеряется в радианах. Когда x растёт от 0, значение y поднимается до 1 при x = π/2 ≈ 1,571, возвращается к 0 при x = π ≈ 3,142, опускается до −1 при x = 3π/2 ≈ 4,712 и снова равно 0 при x = 2π ≈ 6,283. Потом узор начинается заново. Волна никогда не поднимается выше 1 и не опускается ниже −1. Умножьте на 3, и y = 3 sin x колеблется между −3 и 3. Звук, свет и качающийся маятник описываются такими кривыми. Переключите песочницу на синус и ведите точку по волне.

Функции и графики