Fonctions et graphiques : droites, paraboles et sinusoïdes

Un point, c’est deux nombres

Imaginez un quadrillage comme un plan de ville. Pour désigner un endroit, il faut deux nombres : combien on avance vers la droite et combien on monte. Ce sont les coordonnées (x ; y). Le point (3 ; 2) est à trois pas à droite et deux pas en haut de l’origine, le coin marqué (0 ; 0). En 1637, le penseur français René Descartes a publié La Géométrie, qui relie ainsi géométrie et algèbre, et c’est pourquoi on parle de coordonnées cartésiennes. Pierre de Fermat avait eu une idée semblable de son côté. Une anecdote raconte que Descartes y aurait pensé en regardant une mouche au plafond, mais c’est probablement une légende. Par Pythagore, le point (3 ; 2) se trouve à √13 ≈ 3,61 de l’origine.

La droite

Voici une règle de calcul : doubler x et ajouter 1, notée y = 2x + 1. Entrez des nombres et vous obtenez des points : x = 0 donne y = 1, x = 1 donne y = 3, x = 3 donne y = 7. Reliez les points et ils tombent sur une droite parfaitement droite. Toute règle de la forme y = kx + b donne une droite. Le nombre k est la pente : de combien y monte quand x augmente de 1. Le nombre b est l’endroit où la droite coupe l’axe vertical. Donc k incline la droite et b la soulève. Le mot « fonction » pour une règle qui donne une sortie pour chaque entrée vient de Leibniz, à la fin des années 1600.

Lire la pente

Pour trouver k, choisissez deux points et divisez la montée par l’avancée. Une droite passe par (0 ; 1) et (4 ; 9). La montée est 9 − 1 = 8, l’avancée est 4 − 0 = 4, donc k = 8 / 4 = 2 et b = 1 : c’est encore y = 2x + 1. Un k négatif fait descendre la droite, et k = 0 la rend plate. Cela vous dit quelque chose ? Dans le manuel de physique, un graphique distance-temps est une droite dont la pente est la vitesse. Dans le bac à sable, choisissez la droite et déplacez k et b : le point mobile affiche ses coordonnées en glissant le long de la droite.

La parabole

Élevons maintenant l’entrée au carré : y = x². Les valeurs pour x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 sont 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Placez-les et vous obtenez une courbe en U appelée parabole. Elle est symétrique, car un nombre négatif au carré devient positif, et son point le plus bas est en (0 ; 0). La courbe est raide loin du centre et plate près du fond, car chaque pas vers l’extérieur ajoute plus que le précédent : de 1 à 2 on ajoute 3, de 2 à 3 on ajoute 5. Doubler x multiplie y par quatre, ce qui doit vous rappeler les corps en chute, où la distance croît comme le carré du temps.

La trajectoire d’une balle

Lancez une balle droit vers le haut à 10 m/s sur Terre. Sa hauteur après t secondes est h = 10t − 4,905 t², où 4,905 vaut g / 2 et g = 9,81. C’est une parabole tête en bas. La balle atteint son sommet à t = 10 / 9,81 ≈ 1,02 s, à une hauteur de 10² / (2 × 9,81) ≈ 5,10 m, et elle retombe à t = 2 × 10 / 9,81 ≈ 2,04 s, quand h est de nouveau nulle. La même forme apparaît dans le vol d’une balle lancée en oblique, dans les câbles principaux d’un pont suspendu et dans la coupelle d’une antenne parabolique.

Lire un graphique

Un graphique est une image qu’on peut lire. Là où il coupe l’axe horizontal, y est nul : ces endroits sont les zéros de la fonction. Prenez y = 2x − 6. En posant y = 0, on obtient 2x = 6, donc x = 3. Pour y = x² − 4, les zéros sont là où x² = 4, en x = −2 et x = 2, et le point le plus bas est (0 ; −4). Les points les plus haut et les plus bas s’appellent maximum et minimum. Là où une courbe monte, y est croissant ; là où elle descend, y est décroissant. Dans le bac à sable, faites glisser le point le long de la parabole et regardez l’affichage descendre jusqu’à son minimum puis remonter.

Une règle, une onde

Certaines règles dessinent des formes qui se répètent à l’infini. Regardez y = sin x, avec x mesuré en radians. Quand x grandit à partir de 0, y monte jusqu’à 1 en x = π/2 ≈ 1,571, revient à 0 en x = π ≈ 3,142, descend à −1 en x = 3π/2 ≈ 4,712 et retrouve 0 quand x = 2π ≈ 6,283. Puis le motif recommence. L’onde ne dépasse jamais 1 ni ne descend sous −1. Multipliez par 3 et y = 3 sin x oscille entre −3 et 3. Le son, la lumière et un pendule qui oscille se décrivent par des courbes de ce genre. Passez le bac à sable sur le sinus et faites glisser le point le long de l’onde.

Fonctions et graphiques