Órbitas y gravedad: el cañón de Newton y las leyes de Kepler

Una fuerza para manzanas y para la Luna

Newton se hizo una pregunta audaz: ¿podría la fuerza que hace caer una manzana mantener también a la Luna en su camino? Propuso que dos masas cualesquiera se atraen con F = G·m₁·m₂ / r². Aquí m₁ y m₂ son las masas en kilogramos, r es la distancia entre sus centros en metros y G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² es la constante gravitatoria. Compruébalo: la Luna está a unos 60 radios terrestres, así que la atracción de la Tierra allí debería ser 9,81 / 60,3² ≈ 0,00269 m/s². El movimiento real de la Luna da 0,00272 m/s², una coincidencia muy buena. La historia de la manzana que golpeó la cabeza de Newton es una leyenda.

El cañón de Newton

Newton imaginó un cañón en lo alto de una montaña enorme, disparando una bala de lado. Con un disparo lento, la bala se curva hacia abajo y cae cerca. Más rápido, y cae más lejos. Pero la Tierra es redonda, así que el suelo también se curva y se aleja bajo la bala en vuelo. Dispara con la fuerza suficiente y el suelo se aleja tan deprisa como cae la bala. La bala sigue cayendo todo el tiempo; solo que nunca se acerca más. En la animación, observa cómo cada disparo cae un poco más lejos. En el laboratorio, usa el deslizador de velocidad de lanzamiento y anota dónde acaban los disparos.

La primera velocidad cósmica

Una órbita circular exige que la gravedad aporte justo la fuerza que curva la trayectoria: v = √(G·M / r), donde M es la masa de la Tierra y G·M = 3,986 × 10¹⁴ m³/s². A nivel del suelo r = 6.371 km, así que v = √(3,986 × 10¹⁴ / 6,371 × 10⁶) ≈ 7,91 km/s, unos 28.500 km/h. Un satélite real vuela por encima del aire. La Estación Espacial Internacional, a unos 400 km, se mueve a 7,67 km/s y da una vuelta a la Tierra cada 92 minutos. Los astronautas flotan no porque la gravedad haya desaparecido (allí sigue siendo de unos 8,7 m/s²), sino porque ellos y la estación caen juntos.

Elipses y escape

Por encima de 7,91 km/s, la órbita se estira hasta convertirse en una elipse, un óvalo: el objeto se aleja mucho de la Tierra, se frena y vuelve. Cuanto más rápido es el lanzamiento, más largo es el óvalo. Con 11,2 km/s, que es √2 veces la primera velocidad cósmica (7,91 × 1,414 ≈ 11,19), la trayectoria ya no se cierra. El objeto escapa de la Tierra para siempre y solo se detiene a una distancia infinita. Es la velocidad de escape, también llamada segunda velocidad cósmica. Por debajo de 7,91 km/s un disparo desde el suelo es demasiado lento y vuelve a la superficie. Arrastra el deslizador del laboratorio por las tres zonas y lee el tipo de órbita.

Las leyes de Kepler

Antes de Newton, Johannes Kepler estudió las cuidadosas observaciones de Marte hechas por Tycho Brahe. Hacia 1609 descubrió que los planetas se mueven en elipses con el Sol en uno de los focos, y que una línea que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Por eso un planeta se acelera cuando está cerca del Sol: la Tierra se mueve a 30,3 km/s a principios de enero y a 29,3 km/s a principios de julio. Las elipses de los planetas son solo ligeramente ovaladas, pero la regla es la misma para un cometa en una trayectoria larga y alargada.

La tercera ley

En 1619 Kepler añadió una tercera ley: el cuadrado del periodo orbital T crece como el cubo de la distancia media a. Si mides T en años y a en distancias Tierra-Sol, T² = a³. Para Marte, a = 1,524, así que T = 1,524^1,5 ≈ 1,88 años, que coincide con los 687 días reales. Para Júpiter, a = 5,2, así que T = 5,2^1,5 ≈ 11,9 años. Newton demostró más tarde por qué se cumple la ley: se deduce de la atracción gravitatoria inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la misma F = G·m₁·m₂ / r² que sostiene a la Luna.

Gravedad y órbitas