Орбиты и тяготение: пушка Ньютона и законы Кеплера

Одна сила для яблока и Луны

Ньютон задал смелый вопрос: не та ли сила, что роняет яблоко, держит Луну на её пути? Он предположил, что любые две массы притягиваются с силой F = G·m₁·m₂ / r². Здесь m₁ и m₂ — массы в килограммах, r — расстояние между центрами в метрах, а G = 6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная. Проверим: Луна находится примерно в 60 земных радиусах, значит, притяжение Земли там должно быть 9,81 / 60,3² ≈ 0,00269 м/с². Реальное движение Луны даёт 0,00272 м/с² — очень близко. История о яблоке, упавшем Ньютону на голову, — легенда.

Пушка Ньютона

Ньютон представлял себе пушку на очень высокой горе, стреляющую ядром вбок. При слабом выстреле ядро загибается вниз и падает рядом. Выстрел сильнее — оно падает дальше. Но Земля круглая, и поверхность тоже уходит из-под летящего ядра. Выстрелите достаточно сильно — и поверхность будет уходить так же быстро, как ядро падает. Ядро всё время падает, просто никогда не приближается к земле. В анимации смотрите, как каждый выстрел падает чуть дальше. В песочнице двигайте ползунок скорости запуска и замечайте, куда ложатся выстрелы.

Первая космическая скорость

Для круговой орбиты нужно, чтобы тяготение давало ровно ту силу, что искривляет путь: v = √(G·M / r), где M — масса Земли, а G·M = 3,986 × 10¹⁴ м³/с². У поверхности r = 6371 км, поэтому v = √(3,986 × 10¹⁴ / 6,371 × 10⁶) ≈ 7,91 км/с, около 28 500 км/ч. Настоящий спутник летит над воздухом. Международная космическая станция на высоте около 400 км движется со скоростью 7,67 км/с и облетает Землю за 92 минуты. Космонавты парят не потому, что тяготение исчезло (там оно всё ещё около 8,7 м/с²), а потому, что они и станция падают вместе.

Эллипсы и побег

При скорости выше 7,91 км/с орбита вытягивается в эллипс — овал: тело уходит далеко от Земли, замедляется и возвращается. Чем быстрее запуск, тем длиннее овал. При 11,2 км/с, то есть в √2 раз больше первой космической скорости (7,91 × 1,414 ≈ 11,19), траектория больше не замыкается. Тело навсегда покидает Землю, останавливаясь лишь на бесконечном удалении. Это вторая космическая скорость, или скорость убегания. Ниже 7,91 км/с выстрел с земли слишком слаб и возвращается на поверхность. Проведите ползунок в песочнице через все три области и читайте тип орбиты.

Законы Кеплера

До Ньютона Иоганн Кеплер изучал точные наблюдения Марса, сделанные Тихо Браге. Около 1609 года он обнаружил, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых Солнце, а отрезок от Солнца до планеты за равные времена заметает равные площади. Поэтому планета ускоряется вблизи Солнца: Земля идёт со скоростью 30,3 км/с в начале января и 29,3 км/с в начале июля. Орбиты планет лишь слегка вытянуты, но правило то же и для кометы на длинной, сильно вытянутой траектории.

Третий закон

В 1619 году Кеплер добавил третий закон: квадрат периода обращения T растёт как куб среднего расстояния a. Если измерять T в годах, а a — в расстояниях от Земли до Солнца, то T² = a³. Для Марса a = 1,524, значит, T = 1,524^1,5 ≈ 1,88 года, что совпадает с настоящими 687 сутками. Для Юпитера a = 5,2, значит, T = 5,2^1,5 ≈ 11,9 года. Позже Ньютон показал, почему закон верен: он следует из притяжения, убывающего как квадрат расстояния, того самого F = G·m₁·m₂ / r², что держит Луну.

Тяготение и орбиты