Orbites et gravité : canon de Newton et lois de Kepler

Une force pour les pommes et pour la Lune

Newton s’est posé une question audacieuse : la force qui fait tomber une pomme pourrait-elle aussi retenir la Lune sur sa route ? Il propose que deux masses quelconques s’attirent avec F = G·m₁·m₂ / r². Ici m₁ et m₂ sont les masses en kilogrammes, r la distance entre leurs centres en mètres, et G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² la constante gravitationnelle. Vérifiez : la Lune est à environ 60 rayons terrestres, donc l’attraction de la Terre à cet endroit devrait valoir 9,81 / 60,3² ≈ 0,00269 m/s². Le mouvement réel de la Lune donne 0,00272 m/s², une concordance remarquable. L’histoire de la pomme tombée sur la tête de Newton est une légende.

Le canon de Newton

Newton imagine un canon sur une très haute montagne, qui tire un boulet à l’horizontale. Avec un tir lent, le boulet s’incurve vers le bas et retombe tout près. Plus rapide, et il retombe plus loin. Mais la Terre est ronde, donc le sol se dérobe aussi sous le boulet en vol. Tirez assez fort et le sol s’éloigne aussi vite que le boulet tombe. Le boulet tombe toujours ; il ne se rapproche simplement jamais. Dans l’animation, regardez chaque tir retomber un peu plus loin. Dans le bac à sable, servez-vous du curseur de vitesse de lancement et notez où finissent les tirs.

La première vitesse cosmique

Une orbite circulaire demande que la gravité fournisse exactement l’attraction qui courbe la trajectoire : v = √(G·M / r), où M est la masse de la Terre et G·M = 3,986 × 10¹⁴ m³/s². Au niveau du sol, r = 6 371 km, donc v = √(3,986 × 10¹⁴ / 6,371 × 10⁶) ≈ 7,91 km/s, soit environ 28 500 km/h. Un vrai satellite vole au-dessus de l’air. La Station spatiale internationale, à environ 400 km, file à 7,67 km/s et fait le tour de la Terre en 92 minutes. Les astronautes flottent non parce que la gravité a disparu (elle vaut encore environ 8,7 m/s² là-haut) mais parce qu’eux et la station tombent ensemble.

Ellipses et libération

Au-dessus de 7,91 km/s, l’orbite s’étire en une ellipse, un ovale : l’objet s’éloigne de la Terre, ralentit et revient. Plus le lancement est rapide, plus l’ovale est long. À 11,2 km/s, soit √2 fois la première vitesse cosmique (7,91 × 1,414 ≈ 11,19), la trajectoire ne se referme plus. L’objet échappe à la Terre pour toujours, ne s’arrêtant qu’à une distance infinie. C’est la vitesse de libération, aussi appelée deuxième vitesse cosmique. En dessous de 7,91 km/s, un tir depuis le sol est trop lent et retombe sur la surface. Faites glisser le curseur du bac à sable à travers les trois zones et lisez le type d’orbite.

Les lois de Kepler

Avant Newton, Johannes Kepler a étudié les observations minutieuses de Mars faites par Tycho Brahe. Vers 1609, il découvre que les planètes se déplacent sur des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, et que la ligne du Soleil à une planète balaie des aires égales en des temps égaux. Une planète accélère donc quand elle est proche du Soleil : la Terre file à 30,3 km/s début janvier et à 29,3 km/s début juillet. Les ellipses des planètes sont à peine ovales, mais la règle est la même pour une comète sur une longue trajectoire étirée.

La troisième loi

En 1619, Kepler ajoute une troisième loi : le carré de la période orbitale T croît comme le cube de la distance moyenne a. Mesurez T en années et a en distances Terre-Soleil, et T² = a³. Pour Mars, a = 1,524, donc T = 1,524^1,5 ≈ 1,88 an, ce qui correspond aux 687 jours réels. Pour Jupiter, a = 5,2, donc T = 5,2^1,5 ≈ 11,9 ans. Newton a montré plus tard pourquoi la loi tient : elle découle de l’attraction de la gravité en inverse du carré, la même F = G·m₁·m₂ / r² qui retient la Lune.

Gravité et orbites