Période du pendule T = 2π√(L/g) : Galilée et Foucault

Galilée et la lampe

Un poids au bout d’une corde, qui oscille librement, c’est un pendule. En 1602, Galilée écrit une lettre qui décrit ses expériences sur ce sujet : il y note que des oscillations d’amplitudes différentes durent presque le même temps. Selon une histoire populaire, il l’aurait d’abord remarqué étudiant, en regardant une lampe se balancer dans la cathédrale de Pise et en la chronométrant avec son pouls. Les historiens y voient une légende, racontée seulement après sa mort. Ce qui est sûr, c’est l’idée : un pendule est une horloge. Comptez ses oscillations et vous comptez le temps.

La période ignore la masse

La durée d’une oscillation complète, aller et retour, est la période T. Pour de petites oscillations, T = 2π√(L/g), où L est la longueur de la corde en mètres et g = 9,81 m/s². Remarquez ce qui manque : la masse. Un pendule de 2 m de long a T = 2π√(2 / 9,81) ≈ 2,84 s, que sa boule pèse 1 kg ou 3 kg. L’animation montre deux pendules de 2 m, l’un trois fois plus lourd, qui oscillent en parfaite cadence. La boule plus lourde est tirée plus fort par la gravité, mais elle est aussi plus difficile à mettre en mouvement, et les deux effets s’annulent exactement.

Une corde plus courte oscille plus vite

La longueur compte, mais seulement par une racine carrée. Raccourcissez la corde de 2 m à 0,5 m, soit le quart, et la période est divisée par deux : T = 2π√(0,5 / 9,81) ≈ 1,42 s. Le pendule court fait deux fois plus d’oscillations dans le même temps. La gravité compte aussi : le pendule de 2 m oscille en 6,98 s sur la Lune (g = 1,62 m/s²) et en 1,78 s sur Jupiter (g = 24,79 m/s²). Dans le bac à sable, faites varier la longueur entre 0,3 m et 2,6 m, choisissez la Terre, la Lune ou Jupiter, puis comparez la période avec la formule.

La hauteur devient vitesse

En haut de son oscillation, la boule s’arrête un instant et se trouve au plus haut : elle stocke de l’énergie sous forme de hauteur, E = m·g·h. En bas, elle est au plus bas et la plus rapide, et l’énergie est devenue mouvement, ½·m·v². Sans pertes, les deux sont égales, donc v = √(2·g·h). Un pendule de 2 m écarté de 30° part de h = 2 × (1 − cos 30°) ≈ 0,27 m au-dessus de son point le plus bas, et passe en bas à v = √(2 × 9,81 × 0,268) ≈ 2,29 m/s. La masse s’annule encore. Les grandes oscillations durent aussi un peu plus longtemps : à 60°, la période est supérieure d’environ 7 %, 3,04 s au lieu de 2,84 s.

Où va l’oscillation

Les pendules réels ralentissent et s’arrêtent. La corde frotte au point d’attache et la boule repousse l’air, et chaque bribe de frottement prend de l’énergie à l’oscillation. L’énergie n’est pas détruite ; elle devient de la chaleur, qui réchauffe très légèrement l’air et l’attache. C’est la loi de conservation de l’énergie : le total reste le même, mais il se disperse. Les horlogers ont trouvé un remède. En 1656, Christiaan Huygens construit la première horloge à pendule, où un poids qui descend ou un ressort relance l’oscillation par de petites poussées. Dans l’animation, la barre de chaleur grandit à mesure que l’oscillation diminue.

Le pendule de Foucault

En 1851, le physicien français Léon Foucault suspend une boule de 28 kg à un fil de 67 m dans le Panthéon, à Paris. Sa période est T = 2π√(67 / 9,81) ≈ 16,4 s. Une fois lancé, le pendule garde son plan d’oscillation pendant que le sol tourne lentement sous lui, et les visiteurs voient la ligne d’oscillation pivoter : la preuve, dans une seule salle, que la Terre tourne sur elle-même. La vitesse dépend de la latitude φ : elle vaut 15° par heure × sin φ. À Paris (φ ≈ 48,9°), cela fait environ 11,3° par heure, un tour complet en 32 heures environ. Au pôle Nord, il faudrait 24 heures, et à l’équateur le plan ne tournerait pas du tout.

Le pendule