Маятник: период T = 2π√(L/g), Галилей и Фуко

Галилей и лампада

Груз на нити, свободно качающийся, — это маятник. В 1602 году Галилей написал письмо, в котором описал свои опыты с ним и отметил, что качания разного размаха занимают почти одно и то же время. По популярной истории, он впервые заметил это ещё студентом, наблюдая в Пизанском соборе за качающейся лампадой и отсчитывая время по пульсу. Историки считают это легендой, записанной уже после его смерти. Достоверна идея: маятник — это часы. Считаешь качания — считаешь время.

Период не зависит от массы

Время одного полного качания, туда и обратно, называют периодом T. Для малых качаний T = 2π√(L/g), где L — длина нити в метрах, g = 9,81 м/с². Обратите внимание на то, чего в формуле нет: массы. У маятника длиной 2 м T = 2π√(2 / 9,81) ≈ 2,84 с, весит ли груз 1 кг или 3 кг. В анимации два маятника по 2 м, один втрое тяжелее, качаются в точности в такт. Тяжёлый груз сильнее притягивается к Земле, но и разогнать его труднее, и оба эффекта точно сокращаются.

Короткая нить качается быстрее

Длина важна, но только через квадратный корень. Сократите нить с 2 м до 0,5 м, то есть в четыре раза, и период уменьшится вдвое: T = 2π√(0,5 / 9,81) ≈ 1,42 с. Короткий маятник делает вдвое больше качаний за то же время. Важно и тяготение: маятник в 2 м качается 6,98 с на Луне (g = 1,62 м/с²) и 1,78 с на Юпитере (g = 24,79 м/с²). В песочнице меняйте длину от 0,3 до 2,6 м, выбирайте Землю, Луну или Юпитер и сверяйте период с формулой.

Высота становится скоростью

В верхней точке груз на миг замирает и находится выше всего: энергия запасена в высоте, E = m·g·h. Внизу он ниже всего и быстрее всего, и энергия теперь — движение, ½·m·v². Без потерь они равны, поэтому v = √(2·g·h). Маятник в 2 м, отведённый на 30°, начинает движение на h = 2 × (1 − cos 30°) ≈ 0,27 м выше нижней точки и проходит её со скоростью v = √(2 × 9,81 × 0,268) ≈ 2,29 м/с. Масса опять сокращается. Большой размах чуть удлиняет период: при 60° он примерно на 7 % больше, 3,04 с вместо 2,84 с.

Куда уходит качание

Настоящие маятники замедляются и останавливаются. Нить трётся в подвесе, груз расталкивает воздух, и каждая доля трения отнимает у качания энергию. Энергия не исчезает: она превращается в тепло, на крошечную долю нагревая воздух и подвес. Это закон сохранения энергии: сумма остаётся прежней, но рассеивается. Часовщики нашли лекарство. В 1656 году Христиан Гюйгенс построил первые маятниковые часы, где опускающаяся гиря или пружина подталкивает маятник, восполняя потери. В анимации шкала тепла растёт, пока размах уменьшается.

Маятник Фуко

В 1851 году французский физик Леон Фуко подвесил в парижском Пантеоне шар массой 28 кг на проволоке длиной 67 м. Период такого маятника T = 2π√(67 / 9,81) ≈ 16,4 с. Раскачанный маятник сохранял плоскость качаний, а пол медленно поворачивался под ним, и посетители видели, как поворачивается линия качаний: доказательство вращения Земли прямо в одном зале. Скорость поворота зависит от широты φ: она равна 15° в час × sin φ. В Париже (φ ≈ 48,9°) это около 11,3° в час, полный оборот — примерно за 32 часа. На Северном полюсе он занял бы 24 часа, а на экваторе плоскость не поворачивалась бы вовсе.

Маятник