Полёт брошенного тела: дальность, угол и парабола

Два движения, которые не мешают друг другу

Держите один мяч над краем стола и в тот же миг щелчком отправьте вбок другой. Какой упадёт на пол первым? Никакой: они приземлятся одновременно. Тяготение тянет оба вниз одинаково, а движение вбок этого не меняет. В этом главная идея главы: горизонтальное и вертикальное движения независимы. По горизонтали мяч сохраняет скорость, по вертикали падает по закону s = g·t² / 2. Для стола высотой 1,25 м t = √(2 × 1,25 / 9,81) ≈ 0,505 с. Мяч, брошенный со скоростью 4 м/с, упадёт в 4 × 0,505 ≈ 2,02 м от края.

Траектория — парабола

Сложите оба движения, и мяч начертит кривую, которую называют параболой. При запуске со скоростью v под углом θ («тета») у мяча горизонтальная скорость v·cos θ и начальная вертикальная скорость v·sin θ. Через время t его положение x = v·cos θ·t и y = v·sin θ·t − g·t² / 2. Если исключить t, то y окажется зависящим от x в квадрате: это уравнение параболы. Галилей показал это в своей книге 1638 года. Мяч поднимается, наверху замедляется до нулевой вертикальной скорости, а потом падает всё быстрее.

Числа для броска на 20 м/с

Возьмём v = 20 м/с и θ = 45°. Тогда v·sin θ = 20 × 0,7071 ≈ 14,1 м/с. Верхней точки мяч достигает, когда вертикальная скорость упала до нуля, на высоте H = (v·sin θ)² / (2g) = 200 / 19,62 ≈ 10,2 м. Весь полёт длится T = 2·v·sin θ / g = 2 × 14,14 / 9,81 ≈ 2,88 с. В показаниях песочницы вы найдёте те же три величины — высоту, время и дальность — и увидите, как они меняются, когда вы двигаете ползунки.

Почему дальше всего летит тело под 45°

Угол — это обмен высоты на расстояние. Бросьте вертикально вверх — мяч вернётся в руку; бросьте почти плоско — он быстро упадёт. На ровной земле без воздуха дальность R = v²·sin 2θ / g. Множитель sin 2θ наибольший и равен 1 при 2θ = 90°, то есть при θ = 45°. Для v = 20 м/с: R = 400 × 1 / 9,81 ≈ 40,8 м. Дальность зависит от квадрата v, поэтому вдвое большая скорость даёт вчетверо большую дальность. В песочнице проведите угол от 10° до 80° и найдите, где точка падения дальше всего.

Два угла, одно место падения

Вот сюрприз: 30° и 60° дают одно место падения. Их сумма — 90°, а sin 60° и sin 120° оба равны 0,866, поэтому формула даёт одну дальность: R = 400 × 0,866 / 9,81 ≈ 35,3 м при v = 20 м/с. А траектории совсем разные. При 30° мяч в воздухе 2 × 20 × 0,5 / 9,81 ≈ 2,04 с и поднимается на 5,1 м. При 60° он летит около 3,53 с и поднимается на 15,3 м. Так ведёт себя любая пара углов, дающих в сумме 90°: 20° и 70° или 40° и 50°.

Что меняет воздух

Всё сказанное выше верно для пустого мира. Настоящий воздух сопротивляется летящему мячу, и тем сильнее, чем он быстрее. Мяч теряет скорость на всём пути, поэтому траектория уже не точная парабола: она круто поднимается и ещё круче опускается. Дальность оказывается меньше, чем даёт формула R = v²·sin 2θ / g, а лучший угол становится меньше 45°, потому что при более пологом броске мяч меньше борется с воздухом. Это знали лучники, игроки в гольф и артиллеристы. Включите воздух в песочнице, оставьте скорость прежней и сравните дальность при 45° с воздухом и без.

Движение брошенного тела