Mouvement parabolique : portée, angle et parabole expliqués

Deux mouvements qui ne se gênent pas

Tenez une balle au-dessus du bord d’une table et lancez-en une autre de côté au même instant. Laquelle touche le sol la première ? Aucune : elles retombent ensemble. La gravité tire les deux vers le bas de la même façon, et un mouvement latéral n’y change rien. C’est l’idée clé du chapitre : les mouvements horizontal et vertical sont indépendants. Horizontalement, la balle garde une vitesse constante ; verticalement, elle tombe avec d = g·t² / 2. Pour une table haute de 1,25 m, t = √(2 × 1,25 / 9,81) ≈ 0,505 s. Une balle lancée à 4 m/s retombe à 4 × 0,505 ≈ 2,02 m du bord.

La trajectoire est une parabole

Combinez les deux mouvements et la balle dessine une courbe appelée parabole. Lancée à la vitesse v sous l’angle θ (thêta), la balle a une vitesse horizontale v·cos θ et une vitesse verticale initiale v·sin θ. Au bout du temps t, sa position est x = v·cos θ·t et y = v·sin θ·t − g·t² / 2. Éliminez t et y dépend du carré de x : c’est l’équation d’une parabole. Galilée l’a montré dans son livre de 1638. La balle monte, ralentit au sommet où sa vitesse verticale est nulle, puis retombe de plus en plus vite.

Des chiffres pour un lancer à 20 m/s

Prenez v = 20 m/s et θ = 45°. Alors v·sin θ = 20 × 0,7071 ≈ 14,1 m/s. La balle atteint son sommet quand la vitesse verticale est tombée à zéro, à la hauteur H = (v·sin θ)² / (2g) = 200 / 19,62 ≈ 10,2 m. Le vol entier dure T = 2·v·sin θ / g = 2 × 14,14 / 9,81 ≈ 2,88 s. Dans les affichages du bac à sable, vous trouverez ces trois mêmes sortes de nombres, la hauteur, la durée et la portée, et ils changent quand vous déplacez les curseurs.

Pourquoi 45° va le plus loin

Avec l’angle, on échange de la hauteur contre de la distance. Lancez droit vers le haut et la balle revient dans votre main ; lancez presque à plat et elle tombe vite. Sur un sol plan et sans air, la portée est R = v²·sin 2θ / g. Le facteur sin 2θ est le plus grand, égal à 1, quand 2θ = 90°, c’est-à-dire θ = 45°. Avec v = 20 m/s : R = 400 × 1 / 9,81 ≈ 40,8 m. Comme la portée dépend de v au carré, doubler la vitesse de lancer donne une distance quatre fois plus grande. Dans le bac à sable, balayez l’angle de 10° à 80° et regardez où le point de chute est le plus lointain.

Deux angles, un seul point de chute

Voici une surprise : 30° et 60° retombent au même endroit. Leur somme fait 90°, et sin 60° et sin 120° valent tous deux 0,866, donc la formule donne la même portée : R = 400 × 0,866 / 9,81 ≈ 35,3 m pour v = 20 m/s. Les trajectoires, elles, sont très différentes. À 30°, la balle reste en l’air 2 × 20 × 0,5 / 9,81 ≈ 2,04 s et culmine à 5,1 m. À 60°, elle reste suspendue environ 3,53 s et grimpe à 15,3 m. Toute paire d’angles dont la somme fait 90° se comporte ainsi, comme 20° et 70°, ou 40° et 50°.

Ce que change l’air

Tout cela supposait un monde vide. L’air réel s’oppose à une balle en vol, et d’autant plus fort qu’elle va vite. La balle perd de la vitesse tout au long du trajet, donc la trajectoire n’est plus une parabole parfaite : elle monte raide et redescend plus raide encore. La portée est plus courte que ne le prédit R = v²·sin 2θ / g, et le meilleur angle passe sous 45°, car un tir plus bas passe moins de temps à lutter contre l’air. Archers, golfeurs et artilleurs l’ont tous appris. Activez l’air dans le bac à sable, gardez la vitesse fixe, et comparez la portée à 45° avec et sans air.

Le mouvement d’un projectile