Demostración del teorema de Pitágoras: tres pruebas claras de a² + b² = c², paso a paso
El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². La demostración más sencilla coloca cuatro triángulos rectángulos iguales dentro de un cuadrado de lado a + b y compara el área sobrante en dos disposiciones: c² en una, a² + b² en la otra. Con catetos 3 y 4 sale 49 − 24 = 25 = 9 + 16.
Una demostración no es una medición. Medir unos cuantos triángulos solo sugiere que a² + b² = c²; una demostración prueba que tiene que cumplirse en todo triángulo rectángulo, grande o pequeño. Esta guía recorre tres demostraciones clásicas, cada una comprobada con el triángulo 3-4-5, y después trata de quién lo demostró primero, del recíproco que sirve para comprobar un ángulo recto y de un capítulo de libro animado donde puedes ver crecer los cuadrados.
Ideas principales
- El teorema a² + b² = c² vale solo para triángulos rectángulos, y también su recíproco: si los cuadrados suman, el ángulo es de 90°.
- Demostración con cuatro triángulos: (a + b)² = c² + 4 · (ab/2), es decir, a² + 2ab + b² = c² + 2ab y, por tanto, a² + b² = c².
- Los triángulos semejantes dan a² = c·p y b² = c·q con p + q = c; el trapecio de Garfield llega al mismo resultado con áreas.
- El papel del propio Pitágoras no está claro: la tablilla Plimpton 322 (hacia 1800 a. C.) recoge ternas de triángulos rectángulos, los Elementos de Euclides (hacia 300 a. C.) contienen la demostración más antigua conservada y un libro de 1940 reúne 370 pruebas.
Qué dice el teorema y qué tiene que mostrar una demostración
En un triángulo con una esquina recta, los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos, a y b, y el lado largo opuesto es la hipotenusa, c. El teorema dice que a² + b² = c². Dicho con palabras: un cuadrado dibujado sobre cada cateto tiene un área, y las dos áreas juntas son exactamente el área del cuadrado sobre la hipotenusa. Para el triángulo 3-4-5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Comprobar el 3-4-5 no demuestra nada sobre el 5-12-13 ni sobre un triángulo de catetos 1 y 1, donde c = √2. Una demostración parte de hechos ya aceptados, como el área de un cuadrado y de un triángulo y que los ángulos de un triángulo suman 180°, y llega a la afirmación con pasos que valen para cualquier a y b. Las tres demostraciones siguientes lo hacen con áreas.
Demostración 1: cuatro triángulos dentro de un cuadrado
Toma cuatro triángulos rectángulos iguales, de catetos a y b e hipotenusa c, y un cuadrado grande de lado a + b, cuya área es (a + b)². En la primera disposición, coloca los triángulos en las cuatro esquinas de modo que sus hipotenusas formen en el centro un cuadrado inclinado de lado c. En la segunda, colócalos de forma que dejen un cuadrado de lado a y otro de lado b. El cuadrado grande y los cuatro triángulos son los mismos en ambos dibujos, así que el área vacía también debe ser la misma: c² en el primero, a² + b² en el segundo.
En símbolos, los cuatro triángulos cubren 4 × (ab/2) = 2ab. Así, (a + b)² − 2ab = c², y como (a + b)² = a² + 2ab + b², resulta a² + b² = c². Compruébalo con 3 y 4: el cuadrado grande tiene lado 7 y área 49, los cuatro triángulos cubren 4 × 6 = 24 y quedan 49 − 24 = 25, que es a la vez 5² y 9 + 16.
Un detalle completa la demostración: ¿por qué la figura central de la primera disposición es de verdad un cuadrado? Sus cuatro lados miden c, y en cada vértice el ángulo es 180° menos los dos ángulos agudos del triángulo. En un triángulo rectángulo esos dos ángulos suman 90°, así que cada esquina mide 90° y la figura es un cuadrado.
Demostraciones 2 y 3: triángulos semejantes y trapecio de Garfield
La demostración 2 usa triángulos semejantes. En un triángulo rectángulo de catetos a y b, traza desde el vértice del ángulo recto una línea hasta la hipotenusa, que la corte a 90°. Divide la hipotenusa en dos trozos, p junto al cateto a y q junto al cateto b, con p + q = c, y parte el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños que tienen los mismos ángulos que el entero, es decir, son semejantes a él.
Los triángulos semejantes tienen razones de lados iguales. Del primer triángulo pequeño, a/c = p/a, luego a² = c·p. Del segundo, b/c = q/b, luego b² = c·q. Sumando: a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c². En el triángulo 3-4-5, p = 9/5 = 1,8 y q = 16/5 = 3,2, que suman 5, y en efecto 5 × 1,8 = 9 y 5 × 3,2 = 16.
La demostración 3 la publicó en 1876 James A. Garfield, entonces miembro de la Cámara de Representantes de Estados Unidos y más tarde su vigésimo presidente. Junta dos copias del triángulo y un tercer triángulo de catetos c y c de modo que formen un trapecio de lados paralelos a y b y altura a + b. Su área es (a + b)²/2, y también es la suma de los tres triángulos: ab/2 + ab/2 + c²/2. Así, (a + b)²/2 = ab + c²/2, que se simplifica en a² + b² = c². Con 3 y 4: 49/2 = 24,5, y 6 + 6 + 12,5 = 24,5.
¿Quién lo demostró primero? Plimpton 322, Euclides y el recíproco
El teorema lleva el nombre de Pitágoras, pero él vivió hacia 570–495 a. C., no dejó escritos y los historiadores no pueden decir quién lo demostró primero. La tablilla babilónica de arcilla Plimpton 322, de hacia 1800 a. C., ya recoge ternas de triángulos rectángulos: una fila empareja 119 y 169, el cateto y la hipotenusa de un triángulo cuyo otro cateto es 120, y en efecto 119² + 120² = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 169². También usan la regla los Sulba Sutras indios, de hacia 600 a. C., y el texto chino Zhoubi Suanjing, en copias de hacia el siglo I a. C.
La demostración más antigua que se conserva dentro de un sistema deductivo es la de Euclides, en la proposición 47 del libro I de los Elementos, escritos hacia 300 a. C. Puede que este teorema tenga más demostraciones conocidas que cualquier otro: el libro de Elisha Scott Loomis The Pythagorean Proposition, en su segunda edición de 1940, contiene 370.
El recíproco también es cierto, y es lo que usan los albañiles para comprobar una esquina: si a² + b² = c², el ángulo entre a y b es recto. Las ternas 5, 12, 13 (25 + 144 = 169), 8, 15, 17 (64 + 225 = 289) y 7, 24, 25 (49 + 576 = 625) lo cumplen. Los lados 6, 7, 10 no: 36 + 49 = 85, que es menos que 100, así que el ángulo opuesto al lado de 10 es mayor que 90°.
Mira la demostración moverse en el VJOURNAL SMART BOOK
El capítulo «Pitágoras y los triángulos rectángulos» del libro de matemáticas VJOURNAL SMART BOOK, en VITON13 SCHOOL, muestra la demostración de los cuatro triángulos como una imagen en movimiento. Crecen cuadrados sobre los lados de un triángulo 3-4-5, cuatro triángulos se deslizan dentro de un cuadrado de lado a + b y lo llenan de dos maneras, y una caja de alambre gira despacio mientras se ilumina su diagonal larga. Bajo el dibujo, un laboratorio tiene deslizadores para los dos catetos: los cuadrados se redibujan a escala y puedes comparar c con tu propio cálculo.
Úsalo para comprobar esta guía: pon los catetos en 5 y 12 y verifica que la hipotenusa sale 13, y luego prueba con 1 y 1 y mira cómo c se detiene en √2 ≈ 1,414. La calculadora científica gratuita tiene la tecla de raíz cuadrada que necesitas para tus propios triángulos.
En palabras sencillas
Recorta de papel cuatro copias de un triángulo rectángulo. Colócalas en un marco cuadrado de una manera y el hueco es un cuadrado grande; colócalas de otra y el hueco son dos cuadrados más pequeños. Mismo marco, mismos cuatro triángulos: los dos huecos tienen que ocupar el mismo espacio.
Pruébalo
En papel cuadriculado dibuja un cuadrado de 7 unidades de lado y recorta cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 y 4. Colócalos en el cuadrado de modo que queden dos cuadrados, uno de 3 de lado y otro de 4, y cuenta las casillas que ocupan. Después resta a 49 el área de los cuatro triángulos, 4 × 6 = 24, para hallar el hueco inclinado de la otra disposición.
Resultado esperado
9 + 16 = 25 casillas en los dos cuadrados pequeños, y 49 − 24 = 25 para el cuadrado inclinado, de modo que su lado mide 5.
Comprueba tu respuesta: Aplica el método de los cuatro triángulos a los catetos 5 y 12. ¿Cuál es el área del cuadrado grande, cuánto cubren los cuatro triángulos y cuánto mide c?
El cuadrado grande tiene lado 17 y área 289. Cuatro triángulos cubren 4 × (5 × 12 ÷ 2) = 120. Sobran 289 − 120 = 169 = c², así que c = 13.
Preguntas y respuestas
¿Cuál es la demostración más fácil del teorema de Pitágoras?
La de los cuatro triángulos: solo necesita el área de un cuadrado y de un triángulo y la identidad (a + b)² = a² + 2ab + b². También puede hacerse con recortes de papel y sin nada de álgebra.
¿Demostró Pitágoras el teorema de Pitágoras?
Nadie lo sabe. No dejó escritos, y la tablilla babilónica Plimpton 322 muestra ternas de triángulos rectángulos de hacia 1800 a. C. La demostración más antigua que se conserva dentro de un sistema deductivo es la de Euclides, de hacia 300 a. C.
¿Cuántas demostraciones del teorema de Pitágoras existen?
Cientos. La edición de 1940 del libro de Elisha Scott Loomis reúne 370, y puede que este teorema tenga más demostraciones conocidas que cualquier otro.
¿Sirve a² + b² = c² en triángulos sin ángulo recto?
No. Los demás triángulos necesitan el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos C, donde C es el ángulo entre a y b. Con C = 90°, cos C = 0 y vuelve a ser el teorema de Pitágoras.
¿Cómo compruebo si un triángulo tiene un ángulo recto?
Eleva al cuadrado los dos lados menores, súmalos y compáralos con el cuadrado del lado mayor. Si son iguales, el ángulo es de 90°. Para 6, 7, 10 la suma es 85 y no 100, así que no es un triángulo rectángulo.
Prueba en papel la demostración de los cuatro triángulos con catetos 3 y 4, y luego abre el capítulo de Pitágoras y arrastra los deslizadores para ver crecer los cuadrados a escala junto al triángulo.
Fuentes y lecturas
- Wikipedia: Pythagorean theorem ↗Fuentes revisadas:
- Wolfram MathWorld: Pythagorean theorem ↗Fuentes revisadas:
- MacTutor, University of St Andrews: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics ↗Fuentes revisadas:
- Cut-the-knot: Pythagorean theorem and its many proofs ↗Fuentes revisadas: