¿Qué es el número pi? Valor, para qué sirve y cuántos decimales hacen falta

¿Qué es pi y por qué es igual en todas las circunferencias?

Pi, que se escribe con la letra griega π, es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Mide el borde de una mesa redonda y luego su anchura pasando por el centro, y divide la primera medida entre la segunda. Una moneda, un plato y un neumático de bicicleta dan alrededor de 3,14, porque esa razón es la misma en todas las circunferencias que existen.

De ese único hecho salen las dos fórmulas que todo el mundo necesita. La longitud de la circunferencia es C = π × d, o 2πr con el radio, y el área del círculo es A = πr². Para un círculo de radio 3: C = 2π × 3 ≈ 18,85 y A = π × 3² ≈ 28,27 unidades cuadradas. Una mesa de 1,2 m de ancho tiene un borde de 1,2 × π ≈ 3,77 m.

El área crece con el cuadrado del radio, y de ahí la sorpresa de la pizza: una pizza de 30 cm de diámetro ocupa π × 15² ≈ 707 cm², mientras que dos pizzas de 20 cm ocupan solo 2 × π × 10² ≈ 628 cm². El nombre viene de la letra griega π. El matemático galés William Jones fue el primero en usarla para esta razón, en 1706, y Leonhard Euler la adoptó en 1737, tras lo cual se hizo habitual.

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¿Cuántos decimales de pi hacen falta de verdad?

El valor empieza por 3,14159265358979323846 y las cifras siguen sin fin. En el colegio basta 3,14, que se equivoca en torno al 0,05 %. La fracción 22/7 = 3,142857… se pasa un poco, en torno al 0,04 %. Una fracción mejor, 355/113 = 3,1415929…, es correcta hasta el sexto decimal y la encontró el matemático chino Zu Chongzhi en el siglo V.

La ingeniería real necesita muchas menos cifras de lo que se cree. El Laboratorio de Propulsión a Chorro (JPL) de la NASA usa 3,141592653589793, quince decimales, en sus cálculos de navegación interplanetaria de máxima precisión. Sus ingenieros señalan que con esos quince decimales la longitud de una circunferencia de 48 000 millones de kilómetros de diámetro, cuyo radio equivale más o menos a la distancia de la Voyager 1, saldría con un error de menos de un centímetro.

Una prueba pequeña muestra lo poco que cuesta 3,14. Una rueda de bicicleta de 0,7 m de diámetro da diez vueltas: con π avanzas 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 21,99 m y con 3,14 salen 21,98 m. Cuando un cálculo tiene muchos pasos, conviene pulsar la tecla π de la calculadora en lugar de teclear un valor redondeado, para que los errores de redondeo no se acumulen.

¿Es pi una fracción? Por qué sus cifras no terminan

No. En 1761 el matemático suizo Johann Lambert demostró que π es irracional, es decir, que ninguna fracción de números enteros es igual a él. Un decimal que no termina ni cae en un patrón que se repite es justo el aspecto de un número irracional. Por eso 22/7 y 355/113 solo se le acercan; el propio Arquímedes sabía que π no es 22/7.

En 1882 Ferdinand von Lindemann fue más lejos y demostró que π es trascendente: no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Eso cerró un rompecabezas ya antiguo, la cuadratura del círculo, que pide construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un círculo dado. Como π es trascendente, no se puede.

Que no termine no hace a pi impreciso: es un único número exacto, fijado por cada círculo. Si sus cifras son «normales», es decir, si cada cifra y cada bloque de cifras aparecen con la misma frecuencia, sigue sin demostrarse. Nunca podrás escribir pi entero, pero siempre puedes calcular una cifra más.

Cómo se buscó pi: de 3,125 a billones de cifras

Los primeros valores salieron de medir. El papiro egipcio de Rhind, de hacia 1650 a. C., calcula el área del círculo de un modo que equivale a π ≈ 3,16, y en fuentes egipcias y mesopotámicas muy antiguas aparecen también 25/8 = 3,125 y √10 ≈ 3,162.

El primer cálculo que demostró algo fue el de Arquímedes, hacia el 250 a. C. Dibujó polígonos regulares justo dentro y justo fuera de un círculo y fue duplicando sus lados de 6 a 96. Para un círculo de diámetro 1, los polígonos de 96 lados tienen perímetros de unos 3,1410 por dentro y 3,1427 por fuera, lo que encierra a π entre 3 10/71 y 3 1/7, es decir, 3,14085 < π < 3,14286.

Después llegaron mejores fórmulas y más aguante. En 1706 John Machin alcanzó 100 cifras a mano con una fórmula ingeniosa. En 1873 William Shanks publicó 707 decimales tras años de trabajo, aunque solo los primeros 527 eran correctos. El ordenador ENIAC produjo 2037 cifras en 1949, en unas 70 horas, y en 2022 un equipo dirigido por Emma Haruka Iwao superó con Google Cloud los 100 billones de cifras. La ingeniería no las necesita; sirven para probar ordenadores y programas, y por el reto.

Pi en acción en el VJOURNAL SMART BOOK

El capítulo «Pi y el círculo» del libro de matemáticas VJOURNAL SMART BOOK, en VITON13 SCHOOL, pone un dibujo vivo junto a cada párrafo. Una rueda de diámetro 1 desenrolla una línea de longitud π: tres diámetros y un poco más. Los polígonos de Arquímedes se cierran sobre la circunferencia cuando mueves un deslizador de 3 a 96 lados, y un círculo cortado en finas cuñas se coloca como un rectángulo de área πr². Bajo el dibujo, un laboratorio te deja cambiar el radio y comparar el resultado con los ejemplos de esta guía.

Para comprobar tus cuentas, abre la calculadora científica gratuita: tiene una tecla π y muestra la respuesta mientras escribes. Prueba 2π × 3 y π × 3² y compáralas con 18,85 y 28,27.

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• Pi y el círculo: capítulo del libro ↗
• Calculadora científica gratuita ↗

En palabras sencillas

Imagina una jardinera redonda. Rodéala una vez andando y luego mide el camino recto que la cruza por el centro. Rodearla siempre es un poco más que tres de esos caminos. Ese «un poco más de tres» es pi.

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• Demostración del teorema de Pitágoras: tres pruebas claras de a² + b² = c², paso a paso ↗