Qu’est-ce que le nombre pi ? Valeur, usages et combien de décimales il faut vraiment
Le nombre pi (π) est le rapport entre la circonférence de n’importe quel cercle et son diamètre, soit environ 3,14159. Il est le même pour tous les cercles, d’une pièce de monnaie à l’équateur d’une planète. Pi est irrationnel : ses décimales ne s’arrêtent pas et ne se répètent pas, si bien que 3,14 et 22/7 ne sont que des approximations.
Pi est le nombre le plus célèbre des mathématiques scolaires, et l’un des plus mal compris : il ne vaut pas 3,14, il ne vaut pas 22/7 et il n’a pas de dernier chiffre. Ce guide explique ce qu’est pi en mots simples, comment s’en servir pour la circonférence et l’aire d’un disque, combien de décimales servent vraiment, pourquoi on ne peut pas l’écrire comme une fraction et comment on court après ses chiffres depuis plus de trois mille cinq cents ans. À la fin, un chapitre de manuel animé et une calculatrice gratuite vous laissent essayer les nombres.
Idées essentielles
- Pi est la circonférence divisée par le diamètre, environ 3,14159 pour tout cercle ; d’où C = πd et A = πr².
- Pi est irrationnel (Lambert, 1761) et transcendant (Lindemann, 1882) : ses chiffres ne s’arrêtent pas et ne se répètent pas, et la quadrature du cercle est impossible.
- 3,14 se trompe d’environ 0,05 % et 22/7 d’environ 0,04 % ; le Jet Propulsion Laboratory de la NASA utilise 15 décimales pour la navigation interplanétaire.
- Archimède a encadré pi entre 3 10/71 et 3 1/7 avec des polygones à 96 côtés ; les ordinateurs ont depuis calculé plus de 100 billions de chiffres.
Qu’est-ce que pi, et pourquoi chaque cercle donne-t-il le même nombre ?
Pi, noté π d’après la lettre grecque, est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Mesurez le tour d’une table ronde, puis sa largeur en passant par le centre, et divisez la première longueur par la seconde. Une pièce de monnaie, une assiette et un pneu de vélo donnent environ 3,14, car ce rapport est le même pour tous les cercles qui existent.
De ce seul fait découlent les deux formules dont tout le monde a besoin. La circonférence vaut C = π × d, ou 2πr avec le rayon, et l’aire vaut A = πr². Pour un cercle de rayon 3, C = 2π × 3 ≈ 18,85 et A = π × 3² ≈ 28,27 unités carrées. Une table de 1,2 m de large a un pourtour de 1,2 × π ≈ 3,77 m.
L’aire croît comme le carré du rayon, d’où la surprise de la pizza : une pizza de 30 cm de diamètre couvre π × 15² ≈ 707 cm², alors que deux pizzas de 20 cm n’en couvrent que 2 × π × 10² ≈ 628 cm². Le nom vient de la lettre grecque π. Le mathématicien gallois William Jones fut le premier à l’employer pour ce rapport, en 1706, et Leonhard Euler l’a adoptée en 1737, après quoi elle est devenue la norme.
Combien de décimales de pi faut-il vraiment ?
La valeur commence par 3,14159265358979323846, et les chiffres se poursuivent sans fin. À l’école, 3,14 suffit : l’erreur est d’environ 0,05 %. La fraction 22/7 = 3,142857… est un peu trop grande, d’environ 0,04 %. Une meilleure fraction, 355/113 = 3,1415929…, est exacte jusqu’à la sixième décimale ; le mathématicien chinois Zu Chongzhi l’a trouvée au Ve siècle.
L’ingénierie réelle demande bien moins de chiffres qu’on ne le croit. Le Jet Propulsion Laboratory de la NASA emploie 3,141592653589793, soit quinze décimales, pour ses calculs de navigation interplanétaire de la plus haute précision. Ses ingénieurs font remarquer qu’avec ces quinze décimales, la circonférence d’un cercle de 48 milliards de kilomètres de diamètre, dont le rayon vaut à peu près la distance de Voyager 1, serait fausse de moins d’un centimètre.
Un petit test montre le peu que coûte 3,14. Une roue de vélo de 0,7 m de diamètre fait dix tours : avec π, vous parcourez 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 21,99 m, et avec 3,14 vous obtenez 21,98 m. Quand un calcul comporte beaucoup d’étapes, appuyez sur la touche π de la calculatrice plutôt que de saisir une valeur arrondie, pour que les erreurs d’arrondi ne s’accumulent pas.
Pi est-il une fraction ? Pourquoi ses chiffres ne s’arrêtent pas
Non. En 1761, le mathématicien suisse Johann Lambert a démontré que π est irrationnel, c’est-à-dire qu’aucune fraction d’entiers ne lui est égale. Une écriture décimale qui ne s’arrête jamais et ne retombe sur aucun motif répété, c’est exactement l’allure d’un nombre irrationnel. Ainsi, 22/7 et 355/113 ne font qu’approcher pi ; Archimède lui-même savait que π n’est pas 22/7.
En 1882, Ferdinand von Lindemann est allé plus loin et a démontré que π est transcendant : il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Cela a réglé une énigme déjà ancienne, la quadrature du cercle, qui demande de construire, avec seulement un compas et une règle, un carré de même aire qu’un cercle donné. Puisque π est transcendant, c’est impossible.
Ne jamais finir ne rend pas pi flou : c’est un nombre unique et exact, fixé par chaque cercle. Savoir si ses chiffres sont « normaux », c’est-à-dire si chaque chiffre et chaque bloc de chiffres apparaissent aussi souvent les uns que les autres, reste une question ouverte. On ne pourra jamais écrire pi en entier, mais on peut toujours calculer un chiffre de plus.
Comment on a cherché pi : de 3,125 aux billions de chiffres
Les premières valeurs sont venues de la mesure. Le papyrus égyptien de Rhind, vers 1650 av. J.-C., traite l’aire du cercle d’une façon qui revient à π ≈ 3,16, et des valeurs comme 25/8 = 3,125 et √10 ≈ 3,162 se retrouvent dans des sources égyptiennes et mésopotamiennes très anciennes.
Le premier calcul qui démontrait quelque chose est celui d’Archimède, vers 250 av. J.-C. Il traçait des polygones réguliers juste à l’intérieur et juste à l’extérieur d’un cercle, et doublait leurs côtés de 6 jusqu’à 96. Pour un cercle de diamètre 1, les polygones à 96 côtés ont des périmètres d’environ 3,1410 à l’intérieur et 3,1427 à l’extérieur, ce qui enferme π entre 3 10/71 et 3 1/7, soit 3,14085 < π < 3,14286.
Puis sont venus de meilleures formules et plus d’endurance. En 1706, John Machin a atteint 100 chiffres à la main grâce à une formule astucieuse. En 1873, William Shanks a publié 707 décimales après des années de travail, mais seules les 527 premières étaient justes. L’ordinateur ENIAC a produit 2 037 chiffres en 1949, en environ 70 heures, et en 2022 une équipe menée par Emma Haruka Iwao a dépassé 100 billions de chiffres avec Google Cloud. L’ingénierie n’en a pas besoin ; ils servent à tester des ordinateurs et des logiciels, et pour le défi.
Voir pi en action dans le VJOURNAL SMART BOOK
Le chapitre « Pi et le cercle » du manuel de mathématiques VJOURNAL SMART BOOK, sur VITON13 SCHOOL, place un dessin vivant à côté de chaque paragraphe. Une roue de diamètre 1 déroule une ligne de longueur π : trois diamètres et un peu plus. Les polygones d’Archimède se resserrent sur le cercle quand vous faites glisser le nombre de côtés de 3 à 96, et un disque découpé en fines parts se déploie en un rectangle d’aire πr². Sous l’image, un bac à sable permet de changer le rayon et de comparer le résultat avec les exemples de ce guide.
Pour vérifier vos calculs, ouvrez la calculatrice scientifique gratuite : elle a une touche π et affiche la réponse pendant la saisie. Essayez 2π × 3 et π × 3², et comparez avec 18,85 et 28,27.
En mots simples
Imaginez un massif de fleurs rond. Faites-en le tour à pied, puis mesurez l’allée droite qui le traverse par le milieu. Le tour fait toujours un peu plus de trois fois cette allée. Ce « un peu plus de trois », c’est pi.
À vous de jouer
Prenez un objet rond, comme une tasse ou une assiette, entourez-le d’une ficelle, mesurez la ficelle, mesurez la largeur de l’objet en passant par le centre, puis divisez le premier nombre par le second.
Résultat attendu
Un nombre proche de 3,14 ; quelques pour cent d’écart dans un sens ou dans l’autre sont normaux, car la ficelle et la règle ne sont pas exactes.
Vérifiez votre réponse: Un étang rond mesure 8 m de diamètre. Quelle est la longueur de sa rive et quelle est son aire ? Prenez π ≈ 3,14159.
La rive mesure C = π × 8 ≈ 25,13 m. Le rayon est de 4 m, donc l’aire est A = π × 4² = 16π ≈ 50,27 m².
Questions et réponses
Pi vaut-il exactement 22/7 ?
Non. 22/7 ≈ 3,142857 est un peu au-dessus de π ≈ 3,141593, d’environ 0,04 %. Archimède a montré que 22/7 n’est qu’une borne supérieure de pi, et l’on sait depuis 1761 qu’aucune fraction n’est exactement égale à pi.
Combien de chiffres de pi connaît-on ?
Plus de 100 billions de décimales ont été calculées ; une équipe utilisant Google Cloud a franchi ce cap en 2022. En pratique, il en faut très peu : le Jet Propulsion Laboratory de la NASA emploie 15 décimales.
Pourquoi l’appelle-t-on pi ?
Pi est la lettre grecque π. Le mathématicien gallois William Jones l’a employée en 1706 pour le rapport de la circonférence au diamètre, et Leonhard Euler a adopté le symbole en 1737, ce qui l’a imposé.
Quand a lieu le jour de pi ?
Le 14 mars, soit 3/14 dans le format de date américain. Certains fêtent aussi le jour de l’approximation de pi le 22 juillet, car 22/7 ≈ 3,142857.
À quoi sert pi en dehors des cercles ?
Il apparaît dans les formules des cercles, des sphères et des cylindres, en trigonométrie, pour les ondes et partout en physique. La période d’un pendule, T = 2π√(L/g), contient pi alors qu’elle décrit une oscillation et non un cercle.
La prochaine fois que vous croisez un cercle, divisez sa circonférence par son diamètre et voyez apparaître environ 3,14. Ouvrez ensuite le chapitre sur pi du manuel et faites glisser les curseurs du bac à sable pour comprendre pourquoi.
Sources et lectures
- MacTutor, University of St Andrews: A history of pi ↗Sources consultées:
- NASA Jet Propulsion Laboratory: How many decimals of pi do we really need? ↗Sources consultées:
- Wolfram MathWorld: Pi ↗Sources consultées:
- Wikipedia: Pi ↗Sources consultées: