Démonstration du théorème de Pythagore : trois preuves claires de a² + b² = c², pas à pas
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². La démonstration la plus simple place quatre triangles rectangles identiques dans un carré de côté a + b et compare l’aire restante dans deux dispositions : c² dans l’une, a² + b² dans l’autre. Avec des côtés 3 et 4, on obtient 49 − 24 = 25 = 9 + 16.
Une démonstration n’est pas une mesure. Mesurer quelques triangles ne fait que suggérer que a² + b² = c² ; une démonstration prouve que c’est vrai pour tout triangle rectangle, grand ou petit. Ce guide parcourt trois démonstrations classiques, chacune vérifiée sur le triangle 3-4-5, puis s’intéresse à celui qui l’a prouvé le premier, à la réciproque qui permet de tester un angle droit et à un chapitre de manuel animé où l’on voit grandir les carrés.
Idées essentielles
- Le théorème a² + b² = c² ne vaut que pour les triangles rectangles, comme sa réciproque : si les carrés s’additionnent, l’angle mesure 90°.
- Preuve par quatre triangles : (a + b)² = c² + 4 · (ab/2), soit a² + 2ab + b² = c² + 2ab, donc a² + b² = c².
- Les triangles semblables donnent a² = c·p et b² = c·q avec p + q = c ; le trapèze de Garfield aboutit au même résultat avec des aires.
- Le rôle de Pythagore lui-même est incertain : la tablette Plimpton 322 (vers 1800 av. J.-C.) liste des triplets de triangles rectangles, les Éléments d’Euclide (vers 300 av. J.-C.) contiennent la plus ancienne preuve conservée et un livre de 1940 en réunit 370.
Ce que dit le théorème et ce qu’une démonstration doit établir
Dans un triangle qui a un angle droit, les deux côtés qui se rejoignent à l’angle droit sont les côtés de l’angle droit, a et b, et le grand côté opposé est l’hypoténuse, c. Le théorème dit que a² + b² = c². En mots : un carré construit sur chaque côté de l’angle droit a une aire, et les deux aires réunies valent exactement l’aire du carré construit sur l’hypoténuse. Pour le triangle 3-4-5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Vérifier le 3-4-5 ne prouve rien sur le 5-12-13, ni sur un triangle de côtés 1 et 1, où c = √2. Une démonstration part de faits déjà admis, comme l’aire d’un carré et d’un triangle et la somme de 180° des angles d’un triangle, et arrive à l’énoncé par des étapes valables pour tous a et b. Les trois preuves qui suivent y parviennent avec des aires.
Preuve 1 : quatre triangles dans un carré
Prenez quatre triangles rectangles identiques, de côtés a et b et d’hypoténuse c, et un grand carré de côté a + b, d’aire (a + b)². Dans la première disposition, placez les triangles dans les quatre coins de façon que leurs hypoténuses forment au milieu un carré incliné de côté c. Dans la seconde, placez-les de façon à laisser un carré de côté a et un carré de côté b. Le grand carré et les quatre triangles sont les mêmes dans les deux figures, donc l’aire vide l’est aussi : c² dans la première, a² + b² dans la seconde.
En symboles, les quatre triangles couvrent 4 × (ab/2) = 2ab. Donc (a + b)² − 2ab = c², et comme (a + b)² = a² + 2ab + b², on obtient a² + b² = c². Vérifions avec 3 et 4 : le grand carré a pour côté 7 et pour aire 49, les quatre triangles couvrent 4 × 6 = 24, et il reste 49 − 24 = 25, qui est à la fois 5² et 9 + 16.
Un détail achève la preuve : pourquoi la figure du milieu, dans la première disposition, est-elle vraiment un carré ? Ses quatre côtés valent c, et à chaque sommet l’angle vaut 180° moins les deux angles aigus du triangle. Dans un triangle rectangle, ces deux angles font ensemble 90°, donc chaque coin mesure 90° et la figure est un carré.
Preuves 2 et 3 : triangles semblables et trapèze de Garfield
La preuve 2 utilise des triangles semblables. Dans un triangle rectangle de côtés a et b, tracez depuis le sommet de l’angle droit la hauteur qui rejoint l’hypoténuse à 90°. Elle coupe l’hypoténuse en deux morceaux, p près du côté a et q près du côté b, avec p + q = c, et partage le triangle en deux triangles rectangles plus petits qui ont les mêmes angles que le grand, donc semblables à lui.
Des triangles semblables ont des rapports de côtés égaux. Dans le premier petit triangle, a/c = p/a, donc a² = c·p. Dans le second, b/c = q/b, donc b² = c·q. En additionnant : a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c². Dans le triangle 3-4-5, p = 9/5 = 1,8 et q = 16/5 = 3,2, qui font 5, et en effet 5 × 1,8 = 9 et 5 × 3,2 = 16.
La preuve 3 a été publiée en 1876 par James A. Garfield, alors membre de la Chambre des représentants des États-Unis et plus tard vingtième président. Assemblez deux copies du triangle et un troisième triangle de côtés c et c, de façon à former un trapèze de côtés parallèles a et b et de hauteur a + b. Son aire est (a + b)²/2, et c’est aussi la somme des trois triangles : ab/2 + ab/2 + c²/2. Donc (a + b)²/2 = ab + c²/2, ce qui se simplifie en a² + b² = c². Avec 3 et 4 : 49/2 = 24,5, et 6 + 6 + 12,5 = 24,5.
Qui l’a prouvé le premier ? Plimpton 322, Euclide et la réciproque
Le théorème porte le nom de Pythagore, mais celui-ci a vécu vers 570–495 av. J.-C., n’a laissé aucun écrit, et les historiens ne peuvent dire qui l’a démontré le premier. La tablette d’argile babylonienne Plimpton 322, d’environ 1800 av. J.-C., liste déjà des triplets de triangles rectangles : une ligne associe 119 et 169, un côté et l’hypoténuse d’un triangle dont l’autre côté vaut 120, et en effet 119² + 120² = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 169². Les Sulba Sutras indiens, vers 600 av. J.-C., et le texte chinois Zhoubi Suanjing, dans des copies d’environ le Ier siècle av. J.-C., emploient aussi la règle.
La plus ancienne preuve conservée au sein d’un système déductif est celle d’Euclide, proposition 47 du livre I des Éléments, écrits vers 300 av. J.-C. Ce théorème a peut-être plus de preuves connues que tout autre : le livre d’Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition, dans sa seconde édition de 1940, en contient 370.
La réciproque est vraie aussi, et c’est ainsi que les artisans vérifient un angle : si a² + b² = c², l’angle entre a et b est droit. Les triplets 5, 12, 13 (25 + 144 = 169), 8, 15, 17 (64 + 225 = 289) et 7, 24, 25 (49 + 576 = 625) réussissent le test. Les côtés 6, 7, 10 non : 36 + 49 = 85, ce qui est inférieur à 100, donc l’angle opposé au côté de 10 est supérieur à 90°.
Voir la preuve bouger dans le VJOURNAL SMART BOOK
Le chapitre « Pythagore et les triangles rectangles » du manuel de mathématiques VJOURNAL SMART BOOK, sur VITON13 SCHOOL, montre la preuve des quatre triangles comme une image animée. Des carrés grandissent sur les côtés d’un triangle 3-4-5, quatre triangles glissent dans un carré de côté a + b et le remplissent de deux façons, et une boîte en fil de fer tourne lentement pendant que sa grande diagonale s’éclaire. Sous l’image, un bac à sable offre des curseurs pour les deux côtés de l’angle droit : les carrés sont redessinés à l’échelle, et vous pouvez comparer c avec votre propre calcul.
Servez-vous-en pour tester ce guide : réglez les côtés sur 5 et 12 et vérifiez que l’hypoténuse vaut 13, puis essayez 1 et 1 et regardez c se stabiliser à √2 ≈ 1,414. La calculatrice scientifique gratuite a la touche racine carrée qu’il vous faut pour vos propres triangles.
En mots simples
Découpez dans du papier quatre copies d’un triangle rectangle. Rangez-les dans un cadre carré d’une façon, et le vide est un grand carré ; rangez-les d’une autre, et le vide est fait de deux carrés plus petits. Même cadre, mêmes quatre triangles : les deux vides ont forcément la même place.
À vous de jouer
Sur du papier quadrillé, dessinez un carré de 7 carreaux de côté et découpez quatre triangles rectangles de côtés 3 et 4. Rangez-les dans le carré de façon qu’il reste deux carrés, l’un de 3 de côté et l’autre de 4, et comptez leurs carreaux. Retranchez ensuite de 49 l’aire des quatre triangles, 4 × 6 = 24, pour trouver le vide incliné de l’autre disposition.
Résultat attendu
9 + 16 = 25 carreaux dans les deux petits carrés, et 49 − 24 = 25 pour le carré incliné, dont le côté mesure donc 5.
Vérifiez votre réponse: Appliquez la méthode des quatre triangles aux côtés 5 et 12. Quelle est l’aire du grand carré, que couvrent les quatre triangles, et combien vaut c ?
Le grand carré a pour côté 17 et pour aire 289. Quatre triangles couvrent 4 × (5 × 12 ÷ 2) = 120. Il reste 289 − 120 = 169 = c², donc c = 13.
Questions et réponses
Quelle est la démonstration la plus simple du théorème de Pythagore ?
Celle des quatre triangles : elle n’exige que l’aire d’un carré et d’un triangle et l’identité (a + b)² = a² + 2ab + b². On peut aussi la faire avec des découpages en papier, sans aucune algèbre.
Pythagore a-t-il démontré le théorème de Pythagore ?
Personne ne le sait. Il n’a laissé aucun écrit, et la tablette babylonienne Plimpton 322 montre des triplets de triangles rectangles vers 1800 av. J.-C. La plus ancienne preuve conservée dans un système déductif est celle d’Euclide, vers 300 av. J.-C.
Combien existe-t-il de démonstrations du théorème de Pythagore ?
Des centaines. L’édition de 1940 du livre d’Elisha Scott Loomis en réunit 370, et ce théorème a peut-être plus de preuves connues que tout autre.
a² + b² = c² vaut-il pour les triangles sans angle droit ?
Non. Les autres triangles demandent la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos C, où C est l’angle entre a et b. Pour C = 90°, cos C = 0 et on retrouve le théorème de Pythagore.
Comment tester si un triangle a un angle droit ?
Élevez au carré les deux côtés les plus courts, additionnez-les et comparez avec le carré du plus long. S’ils sont égaux, l’angle mesure 90°. Pour 6, 7, 10, la somme est 85 et non 100 : ce n’est pas un triangle rectangle.
Essayez sur papier la preuve des quatre triangles avec des côtés 3 et 4, puis ouvrez le chapitre sur Pythagore et faites glisser les curseurs pour voir les carrés grandir à l’échelle près du triangle.
Sources et lectures
- Wikipedia: Pythagorean theorem ↗Sources consultées:
- Wolfram MathWorld: Pythagorean theorem ↗Sources consultées:
- MacTutor, University of St Andrews: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics ↗Sources consultées:
- Cut-the-knot: Pythagorean theorem and its many proofs ↗Sources consultées: