Доказательство теоремы Пифагора: три понятных способа для a² + b² = c²
Теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, a² + b² = c². Самое простое доказательство укладывает четыре одинаковых прямоугольных треугольника в квадрат со стороной a + b и сравнивает оставшуюся площадь при двух раскладках: c² в одной, a² + b² в другой. Для катетов 3 и 4 получается 49 − 24 = 25 = 9 + 16.
Доказательство — не измерение. Измерив несколько треугольников, можно лишь заподозрить, что a² + b² = c²; доказательство показывает, что так должно быть в каждом прямоугольном треугольнике, большом или маленьком. В этом разборе — три классических доказательства, каждое проверено на треугольнике 3-4-5, затем рассказ о том, кто доказал теорему первым, об обратной теореме, по которой проверяют прямой угол, и о главе живого учебника, где можно увидеть, как растут квадраты.
Главные идеи
- Теорема a² + b² = c² верна только для прямоугольных треугольников, как и обратная к ней: если квадраты складываются, угол равен 90°.
- Доказательство через четыре треугольника: (a + b)² = c² + 4 · (ab/2), то есть a² + 2ab + b² = c² + 2ab и значит a² + b² = c².
- Подобные треугольники дают a² = c·p и b² = c·q при p + q = c; трапеция Гарфилда приводит к тому же результату через площади.
- Роль самого Пифагора неясна: на табличке Плимптон 322 (около 1800 года до н. э.) записаны тройки прямоугольных треугольников, у Евклида (около 300 года до н. э.) древнейшее сохранившееся доказательство, а в книге 1940 года собрано 370 доказательств.
Что утверждает теорема и что должно показать доказательство
В треугольнике с прямым углом две стороны, образующие этот угол, — катеты a и b, а длинная сторона напротив — гипотенуза c. Теорема гласит: a² + b² = c². Словами: квадрат, построенный на каждом катете, имеет свою площадь, и вместе эти площади в точности равны площади квадрата на гипотенузе. Для треугольника 3-4-5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Проверка на 3-4-5 ничего не доказывает про 5-12-13 или про треугольник с катетами 1 и 1, где c = √2. Доказательство начинается с уже принятых фактов — площадь квадрата и треугольника, сумма углов треугольника равна 180° — и шаг за шагом приходит к утверждению, верному при любых a и b. Три доказательства ниже делают это через площади.
Доказательство 1: четыре треугольника в квадрате
Возьмите четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c и большой квадрат со стороной a + b, площадь которого (a + b)². При первой раскладке поставьте треугольники в четыре угла так, чтобы их гипотенузы образовали посередине наклонный квадрат со стороной c. При второй расположите их так, чтобы остались квадрат со стороной a и квадрат со стороной b. Большой квадрат и четыре треугольника на обеих картинках одни и те же, поэтому и незанятая площадь одинакова: c² в первом случае, a² + b² во втором.
В символах: четыре треугольника занимают 4 × (ab/2) = 2ab. Значит, (a + b)² − 2ab = c², а так как (a + b)² = a² + 2ab + b², получаем a² + b² = c². Проверим на 3 и 4: большой квадрат со стороной 7 имеет площадь 49, четыре треугольника занимают 4 × 6 = 24, остаётся 49 − 24 = 25, то есть и 5², и 9 + 16.
Остаётся одна деталь, без которой доказательство неполно: почему фигура посередине при первой раскладке действительно квадрат? Все её стороны равны c, а угол при каждой вершине равен 180° минус два острых угла треугольника. В прямоугольном треугольнике эти два угла в сумме дают 90°, поэтому каждый угол равен 90°, и фигура — квадрат.
Доказательства 2 и 3: подобные треугольники и трапеция Гарфилда
Доказательство 2 использует подобные треугольники. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b опустите из вершины прямого угла высоту на гипотенузу, то есть линию под углом 90° к ней. Она делит гипотенузу на два отрезка: p возле катета a и q возле катета b, причём p + q = c, а сам треугольник — на два меньших прямоугольных треугольника с теми же углами, что у целого, то есть подобных ему.
У подобных треугольников отношения сторон равны. Из первого малого треугольника a/c = p/a, откуда a² = c·p. Из второго b/c = q/b, откуда b² = c·q. Сложим: a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c². В треугольнике 3-4-5 имеем p = 9/5 = 1,8 и q = 16/5 = 3,2, вместе это 5, и действительно 5 × 1,8 = 9, а 5 × 3,2 = 16.
Доказательство 3 опубликовал в 1876 году Джеймс Гарфилд, тогда член Палаты представителей США, а позднее двадцатый президент страны. Сложите две копии треугольника и третий треугольник с катетами c и c так, чтобы получилась трапеция с параллельными сторонами a и b и высотой a + b. Её площадь равна (a + b)²/2, и она же равна сумме трёх треугольников: ab/2 + ab/2 + c²/2. Значит, (a + b)²/2 = ab + c²/2, и после упрощения a² + b² = c². Для 3 и 4: 49/2 = 24,5, и 6 + 6 + 12,5 = 24,5.
Кто доказал первым: Плимптон 322, Евклид и обратная теорема
Теорема носит имя Пифагора, но он жил примерно в 570–495 годах до н. э., сам ничего не написал, и историки не могут сказать, кто доказал её первым. На вавилонской глиняной табличке Плимптон 322, сделанной около 1800 года до н. э., уже записаны тройки прямоугольных треугольников: в одной строке стоят 119 и 169, катет и гипотенуза треугольника, второй катет которого равен 120, и действительно 119² + 120² = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 169². Правило использовали и индийские «Сульба-сутры» около 600 года до н. э., и китайская «Чжоуби суаньцзин» в текстах примерно I века до н. э.
Древнейшее доказательство, дошедшее в рамках дедуктивной системы, принадлежит Евклиду: это предложение 47 первой книги «Начал», написанных около 300 года до н. э. У этой теоремы, возможно, больше известных доказательств, чем у любой другой: в книге Элиши Скотта Лумиса «Пифагорово предложение» во втором издании 1940 года их 370.
Верна и обратная теорема, ею пользуются строители, проверяя угол: если a² + b² = c², угол между a и b прямой. Тройки 5, 12, 13 (25 + 144 = 169), 8, 15, 17 (64 + 225 = 289) и 7, 24, 25 (49 + 576 = 625) проходят проверку. Стороны 6, 7, 10 — нет: 36 + 49 = 85, а это меньше 100, поэтому угол напротив стороны 10 больше 90°.
Доказательство в движении: учебник VJOURNAL SMART BOOK
Глава «Пифагор и прямоугольный треугольник» учебника математики VJOURNAL SMART BOOK на VITON13 SCHOOL показывает доказательство с четырьмя треугольниками как движущуюся картинку. Квадраты вырастают на сторонах треугольника 3-4-5, четыре треугольника скользят внутри квадрата со стороной a + b и заполняют его двумя способами, а проволочная коробка медленно поворачивается, и её длинная диагональ загорается. Под рисунком есть песочница с ползунками для двух катетов: квадраты перерисовываются в масштабе, и можно сравнить c со своим расчётом.
Проверьте по ней этот разбор: поставьте катеты 5 и 12 и убедитесь, что гипотенуза равна 13, затем возьмите 1 и 1 и посмотрите, как c останавливается на √2 ≈ 1,414. В бесплатном инженерном калькуляторе есть клавиша квадратного корня для ваших собственных треугольников.
Простыми словами
Вырежьте из бумаги четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Уложите их в квадратную рамку одним способом — останется один большой квадрат; другим — останутся два квадрата поменьше. Рамка та же, треугольники те же, значит, свободного места в обоих случаях поровну.
Попробуйте сами
На клетчатой бумаге нарисуйте квадрат со стороной 7 клеток и вырежьте четыре прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4. Уложите их в квадрат так, чтобы остались два квадрата, 3 на 3 и 4 на 4, и сосчитайте в них клетки. Затем вычтите из 49 площадь четырёх треугольников, 4 × 6 = 24, — получится наклонный квадрат другой раскладки.
Ожидаемый результат
9 + 16 = 25 клеток в двух малых квадратах и 49 − 24 = 25 для наклонного квадрата, значит, его сторона равна 5.
Проверьте себя: Примените метод четырёх треугольников к катетам 5 и 12. Какова площадь большого квадрата, сколько занимают четыре треугольника и чему равна c?
Большой квадрат имеет сторону 17 и площадь 289. Четыре треугольника занимают 4 × (5 × 12 : 2) = 120. Остаётся 289 − 120 = 169 = c², значит, c = 13.
Вопросы и ответы
Какое доказательство теоремы Пифагора самое простое?
Доказательство с четырьмя треугольниками: ему нужны только площадь квадрата и треугольника и тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Его можно провести и на бумажных вырезках, вообще без алгебры.
Доказал ли теорему сам Пифагор?
Неизвестно. Он ничего не написал, а вавилонская табличка Плимптон 322 показывает тройки прямоугольных треугольников около 1800 года до н. э. Древнейшее сохранившееся доказательство в рамках дедуктивной системы принадлежит Евклиду, около 300 года до н. э.
Сколько существует доказательств теоремы Пифагора?
Сотни. В издании 1940 года книги Элиши Скотта Лумиса собрано 370 доказательств, и у этой теоремы, возможно, больше известных доказательств, чем у любой другой.
Работает ли a² + b² = c² для треугольников без прямого угла?
Нет. Для остальных треугольников нужна теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C, где C — угол между a и b. При C = 90° cos C = 0, и она превращается в теорему Пифагора.
Как проверить, есть ли в треугольнике прямой угол?
Возведите в квадрат две меньшие стороны, сложите и сравните с квадратом большей. Если числа равны, угол равен 90°. Для 6, 7, 10 сумма 85, а не 100, значит, треугольник не прямоугольный.
Проведите доказательство с четырьмя треугольниками на бумаге для катетов 3 и 4, затем откройте главу о Пифагоре и подвигайте ползунки: квадраты вырастут в масштабе рядом с треугольником.
Источники и дальнейшее чтение
- Wikipedia: Pythagorean theorem ↗Источники проверены:
- Wolfram MathWorld: Pythagorean theorem ↗Источники проверены:
- MacTutor, University of St Andrews: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics ↗Источники проверены:
- Cut-the-knot: Pythagorean theorem and its many proofs ↗Источники проверены: