Число пи: что это такое, чему равно и сколько знаков нужно на самом деле

Что такое число пи и почему оно одинаково для любой окружности

Число пи, которое пишут греческой буквой π, — отношение длины окружности к её диаметру. Измерьте край круглого стола, потом его ширину через центр и разделите первое на второе. Монета, тарелка и велосипедная шина дадут около 3,14: это отношение одинаково у любой окружности на свете.

Из этого одного факта следуют две формулы, которые нужны всем. Длина окружности C = π × d, или 2πr через радиус, а площадь круга S = πr². Для круга радиусом 3: C = 2π × 3 ≈ 18,85 и S = π × 3² ≈ 28,27 квадратной единицы. У стола шириной 1,2 м край равен 1,2 × π ≈ 3,77 м.

Площадь растёт как квадрат радиуса, отсюда «пиццевый» сюрприз: одна пицца в 30 см поперёк занимает π × 15² ≈ 707 см², а две пиццы в 20 см — только 2 × π × 10² ≈ 628 см². Название — греческая буква π. Первым применил её для этого отношения валлийский математик Уильям Джонс в 1706 году, а Леонард Эйлер принял обозначение в 1737-м, и оно стало общепринятым.

[1]

Сколько знаков числа пи нужно на самом деле

Значение начинается так: 3,14159265358979323846, и цифры идут без конца. В школе хватает 3,14: ошибка около 0,05 %. Дробь 22/7 = 3,142857… чуть великовата, ошибка около 0,04 %. Лучшая дробь 355/113 = 3,1415929… верна до шести знаков после запятой; её нашёл китайский математик Цзу Чунчжи в V веке.

Инженерам нужно куда меньше знаков, чем кажется. Лаборатория реактивного движения NASA для самых точных расчётов межпланетной навигации берёт 3,141592653589793 — пятнадцать знаков после запятой. Её инженеры подсчитали, что с этими пятнадцатью знаками длина окружности диаметром 48 миллиардов километров, радиус которой примерно равен расстоянию до «Вояджера-1», получилась бы с ошибкой меньше одного сантиметра.

Маленькая проверка показывает, как мало стоит 3,14. Велосипедное колесо диаметром 0,7 м делает десять оборотов: с точным π вы проедете 10 × 0,7 × 3,14159 ≈ 21,99 м, а с 3,14 получите 21,98 м. Если в расчёте много шагов, нажимайте на калькуляторе клавишу π, а не вводите округлённое значение: тогда ошибки округления не накапливаются.

Можно ли записать пи дробью и почему цифры не кончаются

Нельзя. В 1761 году швейцарский математик Иоганн Ламберт доказал, что π иррационально: никакая дробь из целых чисел ему не равна. Десятичная запись, которая не кончается и не переходит в повторяющийся узор, — именно то, как выглядит иррациональное число. Поэтому 22/7 и 355/113 лишь близки к пи; Архимед сам знал, что π не равно 22/7.

В 1882 году Фердинанд фон Линдеман пошёл дальше и доказал, что π трансцендентно: оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это закрыло давнюю головоломку о квадратуре круга: можно ли с помощью одного циркуля и линейки построить квадрат той же площади, что у данного круга. Раз π трансцендентно, нельзя.

Бесконечность не делает пи расплывчатым: это одно точное число, которое задаёт любая окружность. Нормально ли оно, то есть встречается ли каждая цифра и каждый блок цифр одинаково часто, до сих пор не доказано. Записать пи целиком нельзя, но вычислить ещё одну цифру можно всегда.

Как люди искали пи: от 3,125 до триллионов знаков

Первые значения нашли измерением. Египетский папирус Ринда, около 1650 года до н. э., считает площадь круга так, что получается π ≈ 3,16; кроме того, в очень древних египетских и месопотамских источниках встречаются значения 25/8 = 3,125 и √10 ≈ 3,162.

Первый расчёт, который что-то доказывал, сделал Архимед около 250 года до н. э. Он рисовал правильные многоугольники чуть внутри и чуть снаружи круга и удваивал число сторон от 6 до 96. Для круга диаметром 1 периметры 96-угольников равны примерно 3,1410 внутри и 3,1427 снаружи, и π оказывается зажато между 3 10/71 и 3 1/7, то есть 3,14085 < π < 3,14286.

Потом появились формулы получше и больше выдержки. В 1706 году Джон Мэчин вручную получил 100 знаков с помощью хитрой формулы. В 1873 году Уильям Шенкс после многих лет работы опубликовал 707 знаков, но верными оказались только первые 527. Компьютер ENIAC выдал 2 037 знаков в 1949 году примерно за 70 часов, а в 2022 году команда Эммы Харуки Ивао на мощностях Google Cloud перешагнула 100 триллионов знаков. Инженерам они не нужны; их используют для проверки компьютеров и программ и ради самого вызова.

Число пи в учебнике VJOURNAL SMART BOOK

В главе «Число пи и окружность» учебника математики VJOURNAL SMART BOOK на VITON13 SCHOOL рядом с каждым абзацем идёт живой рисунок. Колесо диаметром 1 выкатывает отрезок длиной π: три диаметра и ещё немного. Многоугольники Архимеда сжимаются к окружности, когда вы двигаете ползунок от 3 до 96 сторон, а круг, нарезанный тонкими дольками, раскладывается в прямоугольник с площадью πr². Под рисунком есть песочница: меняйте радиус и сравнивайте результат с примерами из этого разбора.

Чтобы проверить собственные расчёты, откройте бесплатный инженерный калькулятор: в нём есть клавиша π, а ответ виден по мере набора. Введите 2π × 3 и π × 3² и сравните с 18,85 и 28,27.

[2][3]

• Число пи и окружность: глава учебника ↗
• Бесплатный инженерный калькулятор ↗

Простыми словами

Представьте круглую клумбу. Обойдите её один раз, а потом измерьте прямую дорожку через центр. Обход всегда чуть больше, чем три такие дорожки. Это «чуть больше трёх» и есть пи.

Связанные уроки

• Доказательство теоремы Пифагора: три понятных способа для a² + b² = c² ↗