Свободное падение: почему молоток и перо падают вместе

Во что верили люди

Почти две тысячи лет люди верили Аристотелю, который в IV веке до н. э. учил, что тяжёлые тела падают быстрее лёгких. Звучит разумно: камень падает быстро, лист плавно опускается. В анимации тяжёлый и лёгкий шары начинают падать вместе, и старое утверждение как будто подтверждается. Но утверждение — ещё не измерение. Галилей, работая около 1600 года, проверял падающие и катящиеся тела и обнаружил, что тяжёлые и лёгкие движутся почти одинаково. Известна история, будто он бросал шары с Пизанской башни. Скорее всего, это легенда: его тщательные опыты проходили с шарами, катящимися по пологим желобам.

Виноват воздух

Бросьте перо и монету — монета легко победит, но причина не в весе. Воздух сопротивляется всему, что в нём движется, и широкое лёгкое перо он тормозит гораздо сильнее, чем компактную монету. Уберите воздух — например, выкачайте его из длинной стеклянной трубки — и оба тела упадут вместе. Без воздуха тяготение сообщает любому телу одно и то же ускорение g, какой бы ни была масса. У поверхности Земли g = 9,81 м/с²: каждую секунду падения скорость растёт на 9,81 м/с. Включайте и выключайте воздух в песочнице и сравнивайте падение пера.

Молоток и перо на Луне

2 августа 1971 года командир «Аполлона-15» Дэвид Скотт стоял на Луне с молотком в одной руке и пером сокола в другой и отпустил их одновременно. На Луне почти нет воздуха, поэтому перо ничто не тормозило, и камеры показали, что оба предмета коснулись пыли вместе. Лунное g = 1,62 м/с², почти в шесть раз меньше нашего, и потому падение выглядит медленным, как во сне. С высоты 1,5 м, примерно на уровне плеч, оно длится t = √(2 × 1,5 / 1,62) ≈ 1,36 с. На Земле такое падение заняло бы √(2 × 1,5 / 9,81) ≈ 0,55 с.

Путь растёт как квадрат времени

Скорость всё время растёт, поэтому путь увеличивается не пропорционально времени, а быстрее. Правило такое: s = g·t² / 2, где s — пройденный при падении путь в метрах, g — ускорение свободного падения в м/с², t — время в секундах. На Земле за 1 с тело пролетает 9,81 × 1 / 2 ≈ 4,9 м, за 2 с — 9,81 × 4 / 2 ≈ 19,6 м, за 3 с — около 44,1 м. Точки в анимации отмечены через равные промежутки времени, и расстояния между ними всё растут. Скорость через t секунд равна v = g·t, так что через 3 с она около 29,4 м/с, то есть 106 км/ч.

Падение с крыши

Правило можно развернуть, чтобы узнать, сколько длится падение. Решим s = g·t² / 2 относительно t и получим t = √(2h / g), где h — высота. Падение с 20 м, примерно с шестого этажа, занимает t = √(40 / 9,81) ≈ 2,02 с, и у земли тело имеет скорость v = g·t ≈ 19,8 м/с, около 71 км/ч. Заметьте, что масса нигде в этих формулах не встречается. В этом и суть главы. Выберите высоту в песочнице и сравните показания со своим расчётом.

Вес на других мирах

Тяготение не одинаково везде. На Луне g = 1,62 м/с², на Марсе g = 3,71 м/с², а на верхней кромке облаков Юпитера g = 24,79 м/с². Применим формулу к падению с 20 м: на Луне оно длится √(40 / 1,62) ≈ 4,97 с, на Марсе — √(40 / 3,71) ≈ 3,28 с, на Юпитере — √(40 / 24,79) ≈ 1,27 с. Масса тела везде одна и та же, а вот вес — сила, с которой его притягивает, — зависит от g. Человек массой 60 кг весит на Земле 60 × 9,81 ≈ 589 Н, а на Луне лишь 60 × 1,62 ≈ 97 Н. Попробуйте каждый мир в песочнице.

Свободное падение и тяготение